Matrices ( bac+2 maths )

[samuel]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice et nous allons avoir un similaire à un partiel qui est prevu la semaine prochaine. Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.

Voici mon exercice :

Soit R_n-1 [ X] l'espace des polynômes à coefficients réél de degré inferieur ou égale à n-1.

On note B=(1,X,X², X^(n-1)) la base canonique de E.

Soit C : E -> E definie par C(P(X)) = P(X+1) - P(X)

a) Montrer que C est linéaire

b) Determiner la matrice A de C dans la base canonique de B.

c) En déduire les valeurs propres de C

d) Quelle relation a-t-on entre deg C(P) et deg(P) ?

e) En deduire :

1) les vecteurs propres de C
2)que C n'est pas diagonalisable
3)que C = CoC o ... o C = 0
4) que B' = (X^(n-1), C(X^(n-1)), ... C^(n-1)X^(n-1)) est une base de E.

f) Déterminer la matrice de passage A' de C dans la base B'


J'ai reussi sans soucis la question 1 mais je bloque à la 2nde question ce qui m'enpeche de trouver la matrice,

car sinon après je sais faire la 3 mais il me manque la matrice.

Merci beaucoup

[Sa Majesté]

Je pense qu'il suffit de décomposer C(X^j) pour j de 0 à n dans la base canonique

[samuel]

Merci beaucoup pour votre réponse, serait ce possible de me developper la méthode ( pas les résultats juste la méthode ) car je ne vois pas trop ce que vous me dites

Merci

[benekire2]

Salut, comme t'es en dimension finie pour décrire ton application linéaire tu n'a besoin que de ses valeurs prises en P=1 , P=X ... P=X^(n-1) Sert toi de la définition d'une matrice d'un endomorphisme1
J'espère t'avoir aidé du peu que je peut ...

PS. PAr exemple en calculant C(P) pour P=1 , les coordonnées du résultat (dans la base canonique) forment un vecteur colonne de ta matrice.

[samuel]

Merci pour votre réponse :

Donc il faut que je calcule P(1) pour la colonne 1 et je met le premier terme qui est une constante puis la deuxieme c'est celle en terme de X et la 3eme et celle de X² est ce cela ?

Je vous remercie encore .