Matrice de Van Der Mond

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jeje56
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Matrice de Van Der Mond

par jeje56 » 16 Fév 2021, 17:55

Bonjour à tous,
Soient des x_i distincts. La matrice de Van Der Mond en dimension 3 est donnée par .
Je cherche à déterminer l'inverse de V dans la base .
Pour cela, je définis l'application de dans par ; ainsi .
Puisque désigne le ième polynôme de base de Lagrange associé à et le ième vecteur de la base canonique de , on a que la matrice de dans la base des est la matrice identité et donc que l'inverse de cette dernière matrice est aussi l'identité.
Je ne parviens pas à en déduire l'inverse de V dans la base canonique de ...
Merci de votre aide !



phyelec
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Re: Matrice de Van Der Mond

par phyelec » 16 Fév 2021, 21:41

Bonjour,

Je ne comprends pourquoi vous prenez les polynômes de Lagrange?

La base canonique des polynômes est B=(1,X,X) dans , un polynôme s'écrit

V est exprimé dans la base (, calculer V.B . et regrouper les termes en 1,X,et

jeje56
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Re: Matrice de Van Der Mond

par jeje56 » 17 Fév 2021, 13:11

Quels sont tes ?...

phyelec
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Re: Matrice de Van Der Mond

par phyelec » 17 Fév 2021, 14:26

e1,e2,e3 est la base canonique de R3

est la base canonique de

phyelec
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Re: Matrice de Van Der Mond

par phyelec » 17 Fév 2021, 14:28

la matrice V est exprimée dans cette base .

jeje56
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Re: Matrice de Van Der Mond

par jeje56 » 17 Fév 2021, 14:48

phyelec a écrit:la matrice V est exprimée dans cette base .

Oui... L'intérêt de ma méthode est d'inverser V facilement...

phyelec
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Re: Matrice de Van Der Mond

par phyelec » 17 Fév 2021, 16:17

vous avez une matrice 3x3, après avoir trouvé votre matrice dans la base des polynômes appliquez la formule classique

avec det(A) différent de 0 bien sûr.

Il existe effectivement une méthode avec les polynômes de Lagrange, est-ce demandé de les utiliser dans l'énoncé?

GaBuZoMeu
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Re: Matrice de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 17 Fév 2021, 17:01

Bonjour,

Tout d'abord, rendons à Alexandre Théophile Vandermonde son patronyme correct, sans l'écorcher.

Ensuite, de quoi parle-t-on ? D'après ce que je comprends, de l'application linéaire définie par sont trois réels donnés, distincts.
est la matrice de , dans la base au départ et dans la base canonique à l'arrivée.
est inversible, et la théorie des polynômes d'interpolation de Lagrange nous dit que . Il suffit de se rappeler
1) ce que sont les polynômes d'interpolation de Lagrange,
2) comment est définie la matrice d'une application linéaire,
pour écrire qui est la matrice de dans la base canonique au départ et la base à l'arrivée.

jeje56
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Re: Matrice de Van Der Mond

par jeje56 » 19 Fév 2021, 16:54

Merci Gabu.
Les colonnes de l'inverse de la matrice de Vandermonde sont les coordonnées des polynômes de Lagrange dans la base canonique de .

GaBuZoMeu
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Re: Matrice de Van Der Mond

par GaBuZoMeu » 20 Fév 2021, 20:49

Non, pas la base canonique de , mais la base des monômes de , c.-à-d. !

 

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