Matrice d'une application linéaire

[Menthix]

Bonjour, ma question porte sur l'expression matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire.
Etant donnée la matrice A d'une application linéaire dans la base canonique. En multipliant cette matrice par la matrice colonne des coordonnées du vecteur de départ, on obtient un vecteur colonne des coordonnées du vecteur d'arrivée (i.e f(x) avec x vecteur de départ). Jusque là d'accord.
Mais en prenant une autre base que la base canonique, l'expression de f(x) va changer. Si on prend une base B de départ et une base B' d'arrivée les coordonnées de f(x) vont changer. Je me demandais si malgré le changement de l'expression de f(x) le résultat restait le même. C'est à dire si pour un vecteur quelconque le résultat de f(x) restait le même, avec la matrice dans la base canonique et avec celle de B dans B'. C'est à dire si Im(f) restait la même malgré le changement des bases.

J'espèce me faire comprendre. Merci d'avance de votre réponse. :we:

[arnaud32]

par definition si f est une application lineaire de E dans F
une base de E et une base de F
la matrice representative de f relativement aux bases B1 et B2 est

[Robot]

J'espèce me faire comprendre.

Pas trop.

Tout ce je peux dire c'est qu'un vecteur et une application linéaire entre espaces vectoriels existent indépendamment du choix de base dans les espaces vectoriels. L'image d'une application linéaire, son noyau, sont des sous-espaces vectoriels définis indépendamment du choix d'une base.

Ce qui dépend du choix d'une base, ce sont les coordonnées d'un vecteur dans cette base, ou la matrice d'une application linéaire dans une base de l'espace d'arrivée et une base de l'espace de départ.

Si tu prenais un exemple concret des difficultés que tu rencontres, peut-être serais-tu plus compréhensible ?

[Menthix]

Soit f : (x,y,z) --> (x-y+3z , 2x - 2z).
En prenant la bases canonique de l'ensemble de départ. On a une matrice A (cf. photo) de f relativement à la base canonique. En multipliant cette matrice par le vecteur colonne X de l'espace de départ, on obtient f(x) en vecteur colonne (i.e A*X = (x-y+3z , 2x - 2z) en vecteur colonne).
En prenant une autre base de l'ensemble de départ (B cf. photo). On obtient la matrice A'. Et en multipliant cette matrice par le même vecteur X, on obtient (ce que j'appelle) une nouvelle fonction f(x).

Je ne comprends pas à quoi correspondent ces deux fonctions... La première fonction serait l'application linéaire f relativement à la base canonique ? Et la deuxième serait l'application linéaire f relativement à la base B ?

[Robot]

Y'a pas photo !

Si A' est la matrice de f dans une autre base B de l'espace de départ (et toujours la base canonique à l'arrivée ?) alors les coordonnées de l'image du vecteur X par f s'obtiennent en multipliant la matrice A' par le vecteur colonne des coordonnées de X dans la base B.

L'application linéaire qui a pour matrice A' dans les bases canoniques n'est pas l'application linéaire f.

[MouLou]

Y'a pas de photo.

Edit: trop tard

[Menthix]

Voici la photo : http://www.noelshack.com/2015-53-1451406247-win-20151229-17-21-45-pro.jpg
Désolé pour la qualité

[Menthix]

http://www.noelshack.com/2015-53-1451408061-win-20151229-17-53-59-pro.jpg
Voila la photo. J'ai pris une nouvelle application linéaire de R^3 dans R^3.

[aymanemaysae]

M. Menthix, je crois que ce cours vous sera d'un grand secours.

[Robot]

Ta photo est de très mauvaise qualité et difficile à lire.
J'ai déjà donné une explication. Elle ne te satisfait pas ?

[Menthix]

En multipliant la matrice A par le vecteur colonne des coordonnées de la base de départ on obtient l'image de x par f.
Il se trouve que les deux images sont différentes selon que l'on prenne une base Bc (base canonique) et une base B' (autre base) comme base de l'ensemble de départ.
Ce qui me perturbe c'est que avec la matrice de la base canonique (dans la base canonique) on obtient f(x) (soit exactement l'expression de l'image de f telle qu'elle est définie au départ (à savoir dans mon exemple f(x) = (x+y+z, 2x+y+z, x+3y-z)).
En prenant en revanche une autre base, l'image de f est différente. Est-ce à dire que le sous espace Im(f) change selon la base de l'ensemble de départ (et d'arrivée) choisie. Si tel est le cas, pourquoi peut on calculer Im(f) sans se soucier des bases de départ et d'arrivée (en résolvant f(x) = y d'inconnue y par un système).

[Robot]

Non, l'image de f n'est pas différente. Je t'ai déjà répondu là-dessus. Si tu ne tiens pas compte de ce que j'écris, à quoi sert de continuer le dialogue ?

[Menthix]

Non, l'image de f n'est pas différente. Je t'ai déjà répondu là-dessus. Si tu ne tiens pas compte de ce que j'écris, à quoi sert de continuer le dialogue ?

Ok merci, en relisant ton premier message j'ai compris.