Matrice transposée similaire

[wserdx]

Bonjour,
Je suis tombé au cours de mes travaux sur le résultat suivant.
Soit une matrice quelconque non singulière ( ) à coefficients dans un corps quelconque.
Les matrices et (la transposée) sont similaires puisqu'elles ont les mêmes invariants.
Il existe donc une matrice inversible telle que
Voyez-vous une raison simple pour expliquer que est symétrique? (ou une référence sur un cours, ouvrage ...)

Si vous êtes inspirés, d'avance merci!

[Nightmare]

Hello,

dans ta démo, je suppose que tu as dû commencer par des cas de matrices génériques, style réduites de Jordan. Si c'est le cas, tu as dû voir dans tes calculs pourquoi pour la matrice de passage est symétrique pour ces cas particuliers.

[wserdx]

En effet, je n'avais pas pensé à commencer par regarder la forme canonique de Jordan. Le résultat se généralise bien ensuite. Merci pour l'astuce, je pensais plutôt trouver un argument "massue", mais comme ça ça me va aussi!

[Nightmare]

Le problème de Jordan est qu'on doit travailler dans une clôture algébrique. Passer par une décomposition via les matrices compagnons permet d'éviter ceci.

[wserdx]

Le problème de Jordan est qu'on doit travailler dans une clôture algébrique. Passer par une décomposition via les matrices compagnons permet d'éviter ceci.

Oui, j'en suis bien conscient. On doit pouvoir faire la démonstration adhoc pour une matrice compagnon au lieu d'une de Jordan, bien que la matrice de passage soit moins "évidente".
D'une manière générale pour les matrices, si on obtient un résultat en passant par une clôture algébrique, on peut aussi l'obtenir sans.
Encore merci.