Matrice

[Samba]

On considère la matrice
1. Calculer A²- A - 2I₃. En déduire que A est inversible et calculer .
2. Soient B=1/3(A + I₃) et C=-1/3 (A - 2I₃). Calculer et , n ∈ ℕ*
3. Calculer , n ∈ ℕ*

Je bloque à la question 2.

[Samba]

Je veux appliquer la formule du binôme de Newton mais je fais comment si la matrice A ne s'annule pas par son propre produit ?

[Samba]

De l'aide ?

[GaBuZoMeu]

si la matrice A ne s'annule pas par son propre produit ?

Qu'est-ce que ça veut dire ?

As-tu calculé , pour commencer ? (en utilisant )

[Samba]

J'ai fait pour la 1.
- =
Donc


D'où
A^-1=

[mathelot]

Factoriser le trinôme
En déduire que

Que vaut ?
Comment se simplifie le développement du binôme ?

[GaBuZoMeu]

Bonne année,

Je corrige la coquille dans mon indication : je voulais écrire : as-tu calculé pour commencer, en utilisant ?

[mathelot]

On peut factoriser en s'aidant de l'identité

[Samba]

On peut factoriser en s'aidant de l'identité

J'avais fait ça hier mais je pouvais pas le poster.
On a donc



Le calcul de

[Samba]

Où tu veux en venir mathelot ?

[mathelot]

Calculons et developpons

Comme BC=0 de nombreux termes du développement du binôme vont se simplifier.
Notons que B et C commutent.

On va en déduire une égalité avec B^n et C^n

[Samba]

Bonne année,

Je corrige la coquille dans mon indication : je voulais écrire : as-tu calculé pour commencer, en utilisant ?

[Samba]

Calculons et developpons
(B+C) ^n
Comme BC=0 de nombreux termes du développement du binôme vont se simplifier.
Notons que B et C commutent.

Je sais pas faire les symboles de la somme et de la combinaison en latex. Tu m'envoies les codes ?

[mathelot]

[mathelot]

Qu'est ce que l'on en déduit par récurrence ?

[Samba]

Qu'est ce que l'on en déduit par récurrence ?

? (désolé pour le "+1" qui n'apparait pas comme un exposant)

[Samba]

Dois je pas savoir pour quelle valeur valeur de n m’arrêter dans mon développement du binôme ?

[mathelot]

par récurrence sur l'entier n
pour

[GaBuZoMeu]

OK Samba. Et que se passe-t-il pour ?

[mathelot]

Dois je pas savoir pour quelle valeur valeur de n m’arrêter dans mon développement du binôme ?

Dès qu'il y a le produit BC dans un terme du binôme, le terme est nul.
Que reste il du développement du binôme après la simplification BC=0 ?