Matrice

[pluie2]

d'accord le calcul me parait assez difficile....

(2I2+N)^n = somme de k=0 à n de (2I2)^n*N^(n-k)
= (2I2)^n*somme de k=0 à de N^(n-k)
=(2I2)^n*somme de k=0 à de

j'aimerais exprimer la somme avec une suite géométrique est ce possiblee ici?

[capitaine nuggets]

d'accord le calcul me parait assez difficile....

(2I2+N)^n = somme de k=0 à n de (2I2)^n*N^(n-k)
= (2I2)^n*somme de k=0 à de N^(n-k)
=(2I2)^n*somme de k=0 à de

j'aimerais exprimer la somme avec une suite géométrique est ce possiblee ici?

Essaie d'utiliser le langage , j'ai du mal à te relire...
Trouve le plus petit entier tel que (la matrice nulle d'ordre 2).

[pluie2]

je ne sais pas comment l'utiliser

je trouve un p=2

[capitaine nuggets]

je ne sais pas comment l'utiliser

je trouve un p=2

Tu peux voir ça ici :++:

Très bien, donc pour , on aura toujours .
Sachant que d'après la formule du binôme de Newton, on a , on en déduit que car .
tu as alors .
Je te laisse trouver donc puis :+++:

[pluie2]

mais dans votre formule et développement, qui est A^n et A (1 parmi n)?

[capitaine nuggets]

mais dans votre formule et développement, qui est A^n et A (1 parmi n)?

Je ne comprends pas, ce tu veux dire.

[pluie2]

la somme que vous avez calculée, en quoi a t-elle un lien avec le A puissance n et le A indice 1 puissance n ?

désolé j'ai du mal à faire cet exercice, il me parait de plus en plus flou ^^

[capitaine nuggets]

A cause de ça :

est une matrice diagonale par blocs donc, en posant et , on a :
.
Les signifie que tous les termes, en dehors des matrices et sont nuls.
Exprime alors en fonction de , sachant que où est une matrice nilpotente i.e. à partir d'une certaine puissance , N. Il sera donc facile d'obtenir en calculant grâce à la formule du binôme de Newton :+++:

[pluie2]

donc A1^n=(0 parmi n)N^0(2I2)^n+(1 parmi n)N(2I2)^(n-1)

je ne vois vraiment pas quoi écrire de mieux :(

[capitaine nuggets]

donc A1^n=(0 parmi n)N^0(2I2)^n+(1 parmi n)N(2I2)^(n-1)

je ne vois vraiment pas quoi écrire de mieux

Que valent ? ? ?

[pluie2]

0 parmi n vaut 1
N^0 vaut I2
(2I2)^n vaut 2^n*I2^n

[capitaine nuggets]

0 parmi n vaut 1
N^0 vaut I2
(2I2)^n vaut 2^n*I2^n

Oui, et que vaut ?

Fais-en de même avec et .
Déduis-en donc .

[pluie2]

I2^n vaut I2

et l'autre ligne : n*2^(n-1)*I2
donc (2I2+N)^n = I2+n*N*2^(n-1)*I2=I2+n*N*2^(n-1)

[capitaine nuggets]

I2^n vaut I2

et l'autre ligne : n*2^(n-1)*I2
donc (2I2+N)^n = I2+n*N*2^(n-1)*I2=I2+n*N*2^(n-1)

T'as dû oublier des choses :


et .

Ainsi, .
Réécris alors sous la forme d'une matrice 2x2.

Tu auras ainsi .

[pluie2]

ok je vais relire votre raisonnement et donc une fois que j'ai A^n, la question est terminée non ?

[capitaine nuggets]

Presque, nous ce qu'on cherche, c'est M^n.
Il reste donc à calculer .
Ensuite, tu auras une expression plus détaillée de .

[pluie2]

ok donc :

M^n = (4 4 9/ 2 1 3 / 1 0 1)*(A1^n 0/0 3^n)*(-1 4 -3/ -1 5 -6/ 1 -4 4) -1
avec A1^n = 2^nI2+n2^(n-1)N

avez vous une méthode parcticulière pour écrire A1^n sous forme matrice ?

[capitaine nuggets]

C'est ce que je te demande :

Ainsi, .
Réécris alors sous la forme d'une matrice 2x2.

Tu auras ainsi .

si tu multiplie une racine par un scalaire, multiplie tout les éléments de cette matrice par ce scalaire.

[pluie2]

oui justement je sais bien mais je n'y arrive pas...

je ne vois pas comment passer de la forme écrite au dessus à la matrice 2*2

"i tu multiplie une racine par un scalaire, multiplie tout les éléments de cette matrice par ce scalaire." je ne vois pas comment l'appliquer ici

[capitaine nuggets]

oui justement je sais bien mais je n'y arrive pas...

je ne vois pas comment passer de la forme écrite au dessus à la matrice 2*2

"i tu multiplie une racine par un scalaire, multiplie tout les éléments de cette matrice par ce scalaire." je ne vois pas comment l'appliquer ici

, ça fait quoi ?