Matrice

[pluie2]

donc pour faire la récurrence comment dois je faire pour l'hérédité?

[capitaine nuggets]

donc pour faire la récurrence comment dois je faire pour l'hérédité?

Pas besoin de récurrence :

D'aileurs, je m'endors :dodo: , il y a beaucoup plus simple :

donc .
En élevant à la puissance , il vient .
se simplifie très facilement donc c'est bon.

(Je comprends pas pourquoi j'ai pas réagis plus tôt).

[pluie2]

ok!

mais quel est le lien avec u_n ?

[capitaine nuggets]

ok!

mais quel est le lien avec u_n ?

est un terme de ; grâce à la relation on peut en déduire en fonction de .

[pluie2]

mais on sais juste que M^n = PA^nP^-1 et que Xn=M^nX0 donc Xn=PA^nP^-1X0 ?

[capitaine nuggets]

mais on sais juste que M^n = PA^nP^-1 et que Xn=M^nX0 donc Xn=PA^nP^-1X0 ?

Oui, tout à fait !
Sachant que est une matrice colonne et que est situé sur sa troisième ligne, on obtiendra son expression en fonction de en calculant .

[pluie2]

je vais essayer de faire ça au plus tard demain et je vous recontacte une fois que j'ai la réponse;

[capitaine nuggets]

je vais essayer de faire ça au plus tard demain et je vous recontacte une fois que j'ai la réponse;

Pas de problème, bonne soirée à toi.

[pluie2]

donc je trouve que la matrice X_0 vaut en une colonne : (-51 / 47 / -12)
le tout :

(u_n+2 / u_n+1 / u_n)= (4 4 9 / 2 1 3 / 1 0 1)*(2 1 0/ 0 2 0/ 0 0 3)^n*(-1 4 -3/ -1 5 -6/ 1 -4 4)*(-51 / 47 /-12)

comment puis je en déduire une expression de u_n?

Sinon je vous embête sur la question précédente mais il m'est demandé (obligatoirement) d'utiliser une récurrence c'est pour ça que j'aimerais pouvoir l'écire

[capitaine nuggets]

donc je trouve que la matrice X_0 vaut en une colonne : (-51 / 47 / -12)
le tout :

(u_n+2 / u_n+1 / u_n)= (4 4 9 / 2 1 3 / 1 0 1)*(2 1 0/ 0 2 0/ 0 0 3)^n*(-1 4 -3/ -1 5 -6/ 1 -4 4)*(-51 / 47 /-12)

comment puis je en déduire une expression de u_n?

Sinon je vous embête sur la question précédente mais il m'est demandé (obligatoirement) d'utiliser une récurrence c'est pour ça que j'aimerais pouvoir l'écire

- Ben calcule le produit des différentes matrices, il n'est pas très compliqué :++:

- Ah, t'aurais dû me dire plutôt que l'exercice exigeait une récurrence.
Faisons-la alors :ptdr:
Initialisation : terminé.
Hérédité, suppose qu'à partir d'un certain rang , on a , montre alors que pour le rang , on a

[pluie2]

oui mais j'ai un puissance n dans le produit et c'est lui qui me gène un peu ^^

sinon pour la récurrence :

Hérédité:
M^n *M=PA^nP^-1M
M^(n+1)=PA^nP^-1*PAP^-1
M^(n+1)=PA^(n+1)P^-1

j'avoue que sur la fin je n'ai pas trop compris comment "éliminer" le P*P et P^-1P^-1 qui sont en double

[capitaine nuggets]

oui mais j'ai un puissance n dans le produit et c'est lui qui me gène un peu ^^

sinon pour la récurrence :

Hérédité:
M^n *M=PA^nP^-1M
M^(n+1)=PA^nP^-1*PAP^-1
M^(n+1)=PA^(n+1)P^-1

j'avoue que sur la fin je n'ai pas trop compris comment "éliminer" le P*P et P^-1P^-1 qui sont en double

- Il s'agit d'une matrice constitué de blocs de jordan (que des termes sur la diagonale et sur la diagonale supérieure).
Tu devrais pouvoir au moins dire la forme de la matrice .

- Oui, mais comme tu l'as vu, on est amené à multiplier côte à côte par qui vaut :++:

[pluie2]

ok pour la récurrence

par contre pour le développement je n'ai pas entendu parler des blocs de Jordan (jusqu'à aujourd'hui) mais M^n est une matrice 3*3?
désolé pouvez vous m'expliquer :(

[capitaine nuggets]

ok pour la récurrence

par contre pour le développement je n'ai pas entendu parler des blocs de Jordan (jusqu'à aujourd'hui) mais M^n est une matrice 3*3?
désolé pouvez vous m'expliquer

Oui oui, évidemment que est une matrice puisqu'il s'agit d'un produit de matrices .
Tu n'en as jamais entendu parler, très bien.
On peut faire autrement. On va procéder par étapes.

Calcule les premières puissances de ( par exemple).
Etablis une conjecture quant à la forme de et montre-le par récurrence.

[pluie2]

je reviens demain matin et je vous envoie ma réponse

[capitaine nuggets]

Très sincèrement, je ne sais pas si j'aurais le temps demain.

[pluie2]

revenez quand vous voulez alors je vous donne juste mes résultats :

M=(7 -16 12 / 1 0 0/ 0 1 0)
M²=(33 -100 84/ 7 -16 12/ 1 0 0)
M^3=(131 -444 396/33 -100 84/7 -16 12)

je ne vois aucun lien entre ces matrices :(

[capitaine nuggets]

Oui oui, évidemment que est une matrice puisqu'il s'agit d'un produit de matrices .
Tu n'en as jamais entendu parler, très bien.
On peut faire autrement. On va procéder par étapes.

Calcule les premières puissances de ( par exemple).
Etablis une conjecture quant à la forme de et montre-le par récurrence.

Oups, j'ai dit une bêtise suite à une inatention : c'est que tu peux calculer et trouver, grâce à une conjecture que tu montreras par récurrence, la forme de .
Tu en déduiras ainsi .

[pluie2]

A²= (4 4 0 / 0 4 0/ 0 0 9)
A^3=(8 12 0/ 0 8 0/ 0 0 27)
A^4= (16 32 0/ 0 16 0/ 0 0 81)

donc A^n=(2^n ? 0/ 0 2n 0/ 0 0 3^n) je n'ai pas trouvé pour ?

[capitaine nuggets]

est une matrice diagonale par blocs donc, en posant et , on a :
.
Les signifie que tous les termes, en dehors des matrices et sont nuls.
Exprime alors en fonction de , sachant que où est une matrice nilpotente i.e. à partir d'une certaine puissance , N. Il sera donc facile d'obtenir en calculant grâce à la formule du binôme de Newton :+++: