Matrice

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
pluie2
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matrice

par pluie2 » 22 Déc 2013, 17:03

Bonjour à tous,

On considère la suite u telle que uo=-1, u1=2 et u3=14 et pour tout n de N, u_(n+3)=7u_(n+2)-16u_(n+1)+12u_n. On note ealors Xn=(u_(n+2)
u_(n+1)
u_n )

Déterminer une matrice M de M3(R) telle que pour tout n de N, X_(n+1)=MX_n

je n'arrive pas à trouver, peut être faut il faut trouver la forme en fonction de n de la suite ?

merci de m'aider !



Maxmau
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par Maxmau » 22 Déc 2013, 17:41

pluie2 a écrit:Bonjour à tous,

On considère la suite u telle que uo=-1, u1=2 et u3=14 et pour tout n de N, u_(n+3)=7u_(n+2)-16u_(n+1)+12u_n. On note ealors Xn=(u_(n+2)
u_(n+1)
u_n )

Déterminer une matrice M de M3(R) telle que pour tout n de N, X_(n+1)=MX_n

je n'arrive pas à trouver, peut être faut il faut trouver la forme en fonction de n de la suite ?

merci de m'aider !

Bj
essaie la matrice suivante:
première ligne: (7,-16,12)
deuxième ligne:(1,0,0)
troisième ligne: (0,1,0)

pluie2
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par pluie2 » 22 Déc 2013, 17:51

je pense qu'il faut que je raisonne avec une démonstration par contre

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par capitaine nuggets » 22 Déc 2013, 18:21

Salut !

On te définit la suite de matrice colonne et on te demande de trouver une matrice carrée d'ordre trois telle que .
Pour cela, part de et exprime chaque composante en fonction de celles de X_n (à savoir ).

:++:
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Maxmau
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par Maxmau » 22 Déc 2013, 18:55

pluie2 a écrit:je pense qu'il faut que je raisonne avec une démonstration par contre

ON est là au niveau d'une simple constatation.

pluie2
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 01:06

ok donc en fait, je dois écrire :

X_(n+1)=(u_(n+3)
u_(n+2)
u_(n+1) )

et donc : M*(u_(n+2)
u_(n+1)
u_n)

mais comment développer tout ça ?

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 01:19

capitaine nuggets a écrit:Salut !

On te définit la suite de matrice colonne et on te demande de trouver une matrice carrée d'ordre trois telle que .
Pour cela, part de et exprime chaque composante en fonction de celles de (à savoir ).

:++:


Tu n'as pas lu ce que j'ai écrit :triste:
Tu as qu'il faut exprimer en fonction de .
Or dans , il y a un terme qui n'apparaît pas dans : .
Il faut donc exprimer, à partir de la relation de récurrence donnée, en fonction des composantes de .

:+++:
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 01:38

ok :

donc si je comprends bien: X_(n+3)=(7u_(n+2)-16u_(n+1)+12u_n
u_(n+2)
u_(n+1)

comme ceci?

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 01:43

pluie2 a écrit:ok :

donc si je comprends bien: X_(n+3)=(7u_(n+2)-16u_(n+1)+12u_n
u_(n+2)
u_(n+1)

comme ceci?


tout à fait :lol3:
Maintenant, sachant que tu cherches telle que , c'est fini :++:
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 01:46

mais c'est ici que je bloque justement car dois je inverser une eds matrices ? M est est une matrice 3*3 ou alors avec 3 lignes ? ou seulement 3 colonnes?

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 01:52

pluie2 a écrit:Déterminer une matrice M de M3(R) telle que pour tout n de N, X_(n+1)=MX_n


:lol3:
Qu'est-ce que ?


J'ai l'impression que t'es pas trop à l'aise avec le produit matriciel, ai-je tord ?

Pose-toi les questions suivantes :
Dans la première ligne de , quel est le facteur devant ? devant ? devant ?
Tu as ainsi, dans cet ordre, la première ligne des éléments de .

Ou alors, si tu es plutôt du genre "colonne" :
Dans la première ligne de , quel est le facteur devant ?
Dans la deuxième ligne de , quel est le facteur devant ?
Dans la troisième ligne de , quel est le facteur devant ?
tu as ainsi la première colonne de .


Evidemment, tu peux vérifier que ça marche bien en effectuant le produit matriciel (il doit valoir normalement :zen: )
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 01:57

(ça dépend des exos en fait):

X_(n+1)= (7 -16 12
1 0 0
0 1 0)

pour X_n on a que des facteurs 1 devant u_n+2, u_n+1... non?

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 02:00

pluie2 a écrit:(ça dépend des exos en fait):

X_(n+1)= (7 -16 12
1 0 0
0 1 0)

pour X_n on a que des facteurs 1 devant u_n+2, u_n+1... non?


Je peux comprendre ;)

Je sais pas : Comment exprimes-tu en fonction de , et ?
Comment exprimes-tu en fonction de , et ? :lol3:
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 02:05

u_(n+2)=u_(n+2)+0*u_(n+1)+o*u(n)

donc Xn=( 1 0 0
0 1 0
0 0 1)

matrice identité du coup...

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 02:32

pluie2 a écrit:u_(n+2)=u_(n+2)+0*u_(n+1)+o*u(n)

donc Xn=( 1 0 0
0 1 0
0 0 1)

matrice identité du coup...


Ouais, je t'ai un peu perdu(e).
Matrice identité ? certainement pas, mais tu aurais pu le vérifier en montrant que .
Ta matrice trouvée précédemment, , est bien !





Remarque : En regardant la position des coefficient, tu vois directement la matrice :++:
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 02:35

ok bon je vais relire ça merci en tout cas!

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 02:35

pluie2 a écrit:ok bon je vais relire ça merci en tout cas!


De rien :+++:
Bonne nuit !
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par pluie2 » 23 Déc 2013, 12:33

J'aimerais avoir une autre aide si possible pour le reste de l'exercice :

On a 3 autres matrices (dont une que j'ai du trouver) soient : A=( 2 1 0
0 2 0
0 0 3)
P=( 4 4 9
2 1 3
1 0 1)
et P^-1 = (-1 4 -3
-1 5 -6
1 -4 4)
a) On me demande de montrer que P^-1MP=A OK
b) Montrer que pour tout n de N, M^n=PA^nP^-1
c) En déduire l'expression de u_n en fonction de n

j'ai fait b)

Récurrence : Initialisation : Pour n=0, M^0=I3 et PA^0P^-1=une matrice et non I3

déjà je trouve que l'initialisation est fausse bizarre...

merci de m'aider

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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 22:02

Re-salut !

pluie2 a écrit:J'aimerais avoir une autre aide si possible pour le reste de l'exercice :

On a 3 autres matrices (dont une que j'ai du trouver) soient : A=( 2 1 0
0 2 0
0 0 3)
P=( 4 4 9
2 1 3
1 0 1)
et P^-1 = (-1 4 -3
-1 5 -6
1 -4 4)
a) On me demande de montrer que P^-1MP=A OK
b) Montrer que pour tout n de N, M^n=PA^nP^-1
c) En déduire l'expression de u_n en fonction de n

j'ai fait b)

Récurrence : Initialisation : Pour n=0, M^0=I3 et PA^0P^-1=une matrice et non I3

déjà je trouve que l'initialisation est fausse bizarre...

merci de m'aider


C'est curieux en effet :
Par convention, donc , ça marche :+++:
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par capitaine nuggets » 23 Déc 2013, 22:11

pluie2 a écrit:b) Montrer que pour tout n de N, M^n=PA^nP^-1


D'aileurs, je m'endors :dodo: , il y a beaucoup plus simple :

donc .
En élevant à la puissance , il vient .
se simplifie très facilement donc c'est bon.

(Je comprends pas pourquoi j'ai pas réagis plus tôt).
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