Matrice strictement positivie

[ffpower]

Oui..Reste B ( c'est elle qui est importante, en fait à ce stade la réduction de A on s'en fiche un peu^^)

[benekire2]

Oui..Reste B ( c'est elle qui est importante, en fait à ce stade la réduction de A on s'en fiche un peu^^)

, j'ai un peu de mal

Donc on vient de dire que B stabilisait F et G donc B est triangulaire supérieure (enfin on peut se démerder pour qu'elle le devienne) c'est ça ?

[ffpower]

Nan..
T'as qu'as regarder, disons en 4*4, avec F engendré par les 2 premiers vecteurs et G par les 2 derniers.
( cherche les coefficients de la matrice qui doivent nécessairement être nuls )
PS: je vais devoir partir, donc à partir de là tu vas devoir te débrouiller sur la fin. P-e que je repasserai ce soir..

[benekire2]

Ben dans le pire des cas j'ai une matrice de la forme :

A1 A2
0 0

et je pensais qu'on pouvait s'arranger pour la rendre triangulaire ...

[ffpower]

Ca s'approche mais c'est pas encore ça :)

[benekire2]

Bon, ce que j'ai dit c'est un peu con, je suis persuadé qu'en arrangeant la matrice on en fait une matrice de la forme :
A1 A2
0 0

Avec A1 et A2 triangulaire. Mais je vais vérifier en prenant des exemples et en le démontrant le cas échéant !!

[ffpower]

ben non, car une matrice de cette forme est jamais inversible, or ca peut arriver que B le soit ( ne serait-ce que B=Id )

[benekire2]

Euh , j'ai mal mis les blocs :

A1 0
0 A2

Ca va mieux ?

[dibeteriou]

Bon j'ai pas tout lu dans les derniers messages, mais tu dois savoir que A est une symétrie, donc s'écrit A=I-2p où p est le projecteur parallèlement aux points fixes, sur les points changés en leur opposé.

M commute avec A ssi M commute avec p (pourquoi ?).

La matrice de p est une matrice Jr (diagonale avec des 0 et des 1 regroupés).
Tu dois pouvoir faire tous les calculs par blocs à partir de là.

[benekire2]

Ok je n'avais pas vu que l'on pouvait voir le lien comme ça dibeteriou !

Du coup
A= Ir 0
0 0

et l'on cherche les B qui commutent avec A, on va pouvoir les déterminer ces matrices ou juste la dimension ?

PS. Evidemment la méthode de FF m'intéresse aussi :lol3:

[dibeteriou]

Ok je n'avais pas vu que l'on pouvait voir le lien comme ça dibeteriou !

Du coup
A= Ir 0
0 0

et l'on cherche les B qui commutent avec A, on va pouvoir les déterminer ces matrices ou juste la dimension ?

PS. Evidemment la méthode de FF m'intéresse aussi :lol3:

On peut déterminer les matrices entièrement, mais dans la base de réduction

[benekire2]

Bah, en faisant un mix de ce que tu as dit et de ce que ff a dit , j'ai A de la forme :

Ir 0
0 0

et B de la forme :

K 0
0 K
(on est d'accord ? )

et j'ai vérifié qu'on a AB=BA (bien sûr ..)

Et donc en fait je vois pas trop ce que tu entends par "on peut finir en calculant par bloc" ??

[dibeteriou]

En résolvant l'équation
0 = (A B, C D) * (I 0, 0 0) - (I 0, 0 0) * (A B, C D)
(les inconnues étant les blocs A B C et D)
on doit tomber sur ce que tu as trouvé (ie B=0, C=0).

Ensuite, la dimension de l'espace des solutions est la somme "taille de A" + "taille de D" c'est à dire r²+(n-r)² qui a même parité que n :-)

[benekire2]

C'est parfait !! ( Et en plus très simple !! ) :we:

Et donc, par la méthode de FF , c'est pareil la fin, puisque on obtient la matrice B :

C 0
0 D

"directement" (bon en fait c'est pas direct mais bon ... )

Nickel :zen:

[benekire2]

Bonjour tout le monde :we:

J'ai un autre problème qui concerne les matrice et assez embêtant : Soit A une matrice a coef réels de taille n telles que et où k est une constante. Montrer que A est de rang 1.

Bon, j'aimerais bien montrer que n-1 colonnes forment une famille libre évidemment, mais j'y arrive pas, pourtant à coup sûr c'est un argument très simple derrière ! Ca doit surement se faire par l'absurde en prenant 3 colonnes libres ... mais je vois pas comment dsl

Merci de votre aide

[benekire2]

Bonjour tout le monde :we:

J'ai un autre problème qui concerne les matrice et assez embêtant : Soit A une matrice a coef réels de taille n telles que et où k est une constante. Montrer que A est de rang 1.

Bon, j'aimerais bien montrer que n-1 colonnes forment une famille libre évidemment, mais j'y arrive pas, pourtant à coup sûr c'est un argument très simple derrière ! Ca doit surement se faire par l'absurde en prenant 3 colonnes libres ... mais je vois pas comment dsl

Merci de votre aide

[dibeteriou]

En supposant que rg (A)>1 et Aij>0:
quitte à permuter les colonnes et les lignes ce qui ne change rien (ni au rg ni aux hypothèses sur les coefficients), on peut supposer que les deux premières colonnes engendrent un plan, et même que les quatre coefficients A11, A12, A21 et A22 forment une matrice inversible.

En particulier, A11*A22 est différent de A12*A21 (cf déterminant), donc les produits A11*A22*...*Ann et A12*A21*A33**...*Ann le sont aussi (les coefficients sont tous non nuls), ce qui prouve le résultat par contraposée.

[benekire2]

C'était bien tout con con :zen: Merci beaucoup Dib !!

[benekire2]

Une autre question, qui n'a rien a voir en fait , On considère f une application linéaires des matrices de taille p (coefficients réels) dans lui même tq Soit A et T des matrices réelles de taille p , et , on suppose que A et Q commutent.

Montrer que

Je trouve ça cool mais quelle norme matricielle on utilise ici ??

Merci :lol3:

PS. Juste avant (un autre exo on a montré (c'était pas dur) que di A est telle que =0 alors

[Nightmare]

Je trouve ça cool mais quelle norme matricielle on utilise ici ??

Merci :lol3:

Peu importe, on est en dimension finie !