Matrice strictement positivie

[benekire2]

Bonjour,

Pour entamer la nouvelle année , quoi de mieux qu'un nouvel exo ?? En l'occurrence celui-ci m'embête (trouvé sur le net) :

Soit A une matrice de taille n a coefficients dans C, on note le commutant de A. On suppose que l'inverse de A est elle même (donc ) montrer que la dimension de C(A) est de même parité que n.

Merci beaucoup !!

EDIT. Suppression du premier exo "absurde"

[AL-kashi23]

Salut,

Pour le deuxième, une solution bien grasse consiste à déterminer la dimension du commutant pour une matrice diagonalisable quelconque puis à appliquer dans ton cas particulier.

Cela donne le résultat mais ça demande un peu de travail quand même ^^
(le cas simple est celui à n valeurs propres distinctes...)

Mais il doit y avoir une astuce plus rapide =)

[benekire2]

Salut,

Pour le deuxième, une solution bien grasse consiste à déterminer la dimension du commutant pour une matrice diagonalisable quelconque puis à appliquer dans ton cas particulier.

Cela donne le résultat mais ça demande un peu de travail quand même ^^
(le cas simple est celui à n valeurs propres distinctes...)

Mais il doit y avoir une astuce plus rapide =)

Oui j'imagine qu'il doit y avoir plus simple :zen: Surtout que je ne connais rien à la réduction et compagnie, j'ai trouvé ça dans des exos qui sont "faisables sans rien" en théorie (enfin, juste avec le début du cours d'algèbre linéaire).

Merci tout de même :zen:

[dibeteriou]

C'est pourtant le plus simple à mon avis : écrire la matrice dans une base sympa et faire des calculs par blocs (ce qui revient à faire de la réduction sans le dire).

[benekire2]

Salut dib !

Peut tu me montrer comment tu fais stp ?

Merci !!

[ffpower]

Si on veut le dire de manière élémentaire ça donnerait :
Soit F=Ker(A-I) et G=Ker(A+I)
-Mq F et G sont supplémentaires
-Mq B commute avec A ssi B stabilise F et G
-En déduire la dimension du commutant de A en fonction de dim(F) et dim(G) et conclure.

On fait ainsi de la réduction sans le dire..Je sais pas si y'a plus simple..

[benekire2]

"" -Mq F et G sont supplémentaires ""

C'est fait, enfin, j'ai montrer qu'ils étaient en somme directe, mais j'arrive pas a montrer que tout élément de E s'écrit comme somme d'élément de F et G

Pour la suite :

"" -Mq B commute avec A ssi B stabilise F et G
-En déduire la dimension du commutant de A en fonction de dim(F) et dim(G) et conclure. ""

Je ne vois pas trop ... désolé.

Merci :id:

[ffpower]

"" -Mq F et G sont supplémentaires ""

C'est fait, enfin, j'ai montrer qu'ils étaient en somme directe, mais j'arrive pas a montrer que tout élément de E s'écrit comme somme d'élément de F et G

Raisonne par condition nécessaire ( ça marche souvent pour montrer que la somme de 2 espaces, c'est tout ) : Prend un x, suppose qu'il se décompose comme une somme et cherche à exprimer les éléments de cette somme en fonction de x. C'est du même genre que "toute fonction est somme d'une fonction paire et une fonction impaire", si tu connais..

"" -Mq B commute avec A ssi B stabilise F et G ""

Je ne vois pas trop ... désolé.

Aucun des 2 sens?

[benekire2]

Ouais je connais toute fonction est somme d'une paire et d'une impaire et il y en a un dans le même genre avec les matrices aussi , assez drôle :ptdr: Bon, en l'occurrence j'avais fais un essai dans le genre , mais pas assez loin à l'évidence, bon je vais continuer de chercher ça.

Sinon, pour la question d'après , les senss direct c'est bon , mais c'est le sens réciproque qui passe pas ; si B stabilise F et G alors AB=BA.

Bon, merci encore :happy2:

[benekire2]

Pour le 1) la décomposition est :

[ffpower]

Yep :we:
Pour le sens réciproque de 2, Prend un x de R^n et montre que ABx=BAx.. :zen:

[benekire2]

Yep :we:
Pour le sens réciproque de 2, Prend un x de R^n et montre que ABx=BAx.. :zen:

Et je me dit que c'est peut être l'heure d'utiliser la question 1) :lol3:

Bon, passons à la question 3) maintenant : pour l'instant je ne vois pas trop comment exprimer la dimension de l'espaces des matrices qui stabilisent F et G ... mon cerveau est au ralenti :ptdr:

[ffpower]

Cette question est un chouia plus compliqué que je ne le pensais..Enfin elle est assez simple en écrivant les matrices B qui commutent avec A dans une base bien choisie, mais vu qu'on a esquivé le changement de bases jusque là j'aurais aimé continuer sur cette voie^^.
Donc bah réfléchis avec le changement de bases en attendant que je trouve éventuellement mieux.

[benekire2]

C'est à dire ? Tu veut que je trouve une base où ma matrice est sympathique ? (Diagonale par exemple :zen: ) Ca doit se faire maintenant que E est bien décomposé comme somme de sous espaces propres... je me souviens d'un exercice ( on avait pris en dimension 3) où l'on cherchait les valeurs propres puis les sev propres et l'on concluait comme ça. Donc en l'ocurrence "diagonaliser" la matrice doit pas être dur.

[ffpower]

Un truc du genre ouais :)

[benekire2]

Bon, j'essaie , mais c'est pas limpide ...

[ffpower]

Prends une base de F
Prends une base de G
Mixe le tout
Et fais chauffer tes matrices la dedans à feu doux

[benekire2]

Tu veut qu'après réduction (jeu de mot avec la cuisine :ptdr: ) j'obtienne une base magique où A et B sont diagonales toutes les deux ?

[ffpower]

Pas tout à fait ( mais pas loin ). Quelle est la forme de A dans cette mixture? Et la forme de B?

[benekire2]

Déjà dans cette base A est diagonale, enfin je crois ...