Matrice et somme télescopique

[ayla8101]

Bonsoir,
J'ai un pbl pour un exo de maths.

=>soit B une matrice de E= Mn(R) (matrice n colonnes)
et f l'application définie pout tout M appartient à E par f(M)=MB-BM
(f est un endomorphisme)

on suppose qu'il existe une matrice A telle que f(A)=A.
On doit mq que f(A²)=2A²; et , en utilisant une somme télescopique, montrer plus generalement que f(A^k)= k(A^k) et en deduire qu'il existe k appartenant à N tel que A^k=0.

Voila, merci pr vos reponses

[nuage]

Salut,
on part de A=AB-BA et on en tire AB=A +BA ainsi que BA=AB-A.
Puis A²B=A²+ABA et BA²=ABA-A² et f(A²)=A²B-BA²=(A²+ABA)-(ABA-A²)=2A².

Pour la suite tu peux essayer la même méthode pour k avec une récurrence.