Matrice semblables .. (2)

[fahr451]

sandrine

j'ai bien compris ce que tu demandais de montrer?

soit A dans M2(C) si M commute avec A^2 alors M commute avec A ?

c'est faux : prenons A non nulle nilpotente il existe une matrice qui ne commute pas avec A et pourtant elle commute avec A^2 = 0

[sandrine_guillerme]

Exo infaisable pour ceux qui sont motivés :

Soit A une matrice de Mn(R) où pour laquelle le coefficient aij vaut pgcd(i,j).

Calculer det A.

Rain'

as tu trouvé la solution tout seul ? :lol2:
quand tu parlais d'invention personnelle , je croyais que c'était toi qu'il l'avait inventé :hey:


page 149 du méthod'X

calculer d= dét(pgcd(i,j))

réponse : Bon. celui là on peut pas l'inventer faut le connaître sinon c'est pas la peine.
Euler. vous connaissez? Bon. Ben il a fait un indicateur. et en plus on a tout plein de formules avec. Entre autres :



Vous voyez toujours pas ? l'astuce (encore une?) est d'écrire que :



posons :

si j|i
si i|j
(et 0 sinon)

alors A = BC (vérifiez le, au moins vous aurez fait quelque chose dans cet exercice). or les matrices B et C sont triangulaire donc leurs déterminants se calcule sans problème et on a finalement

det A =

Cet exercice est introuvable . alors apprenez le par coeur !

cf. méthode 12 : Exprimer la matrice comme produit de matrices .

[sandrine_guillerme]

sandrine

j'ai bien compris ce que tu demandais de montrer?

soit A dans M2(C) si M commute avec A^2 alors M commute avec A ?

c'est faux : prenons A non nulle nilpotente il existe une matrice qui ne commute pas avec A et pourtant elle commute avec A^2 = 0

oui en effet ,

je rajoute une autre hypothèse, supposons de plus que la trace est non nulle

[fahr451]

ah vi

C(A) est le commutant de A c'est un sev de Mn(R)
de dim sigma (dimElambda) ^2 avec lambda valeur propre de A (supposé connu)

ona bien sûr C(A) C C(A^2)

1 iercas si A a deux valeurs propres distinctes a et b
dim C(A) = 1^2 +1^2 = 2

on a a^2 et b^2 différents (car a+b = tr A non nul)

donc dim C(A^2) = 1+1 = 2 et l égalité
2 iemecas
A a une seule valeur propre et est diagonalisable A est donc scalaire et commute avec toute matrice

3ième cas

A a une seule valeur propre et n'est pas diagonalisable

dim C(A) = 1

A est semblable à en ligne ( (a,1) (0,a) ) a non nul
et A^2 semblable à ( (a^2, 2a) , (0,a^2) ) et est donc non diagonalisable

donc dim C(A^2) = 1 et égalité
c'est ce qui vient en premier à l'esprit mais y a forcément bien d 'autres façons

[sandrine_guillerme]

Bonne idée fahr, et bravo :)


moi j'ai fais autrement, j'ai considèreé l'écriture du polynom caractéristique

P(X) = X^2 - Tr(A) X - det A

A^2 = Tr(A) A -det (A) I


on multiplie a gauche par M
et à droite aussi .

C'est peut être plus rapide non ?

[fahr451]

ah ben oui

sais tu montrer que dim C(A) = sigma [dim E(lambda)] ^2

[sandrine_guillerme]

non, je ne vois pas,

j'attends ta réponse stp ?

[fahr451]

hum j'ai omis l hypothèse que f est diagonalisable

[sandrine_guillerme]

mais même je pose toujours la même question lol

[fahr451]

une preuve pas hyper rédigée:

pour g commutant avec f g laisse chaque sous espace propre Ei de f donc on peut définir la restriction gi de g à Ei d'où gi endo qq de Ei la dim de L(Ei) étant ni^2

réciproquement la donnée des gi endos qq des Ei définit un unique g qui commute avec f donc

C(f) est isomorphe à L(E1) x ...x L(Ep) si E1 , ..,Ep sont les sous espaces propres de f

[sandrine_guillerme]

rhooooooooooo !

trop trop fort lol !!!


Merci fahr

[sandrine_guillerme]

négatif pour les deux,

preuve,

ce au hasard, si c'était par exemple carré d'ordre 2, les coef sont i elle n'est pas inversible,

et pour diagonalisable, non plus on peut toujours trouver une factorisation du polynome caractéristique bien sur vu que C est algèbriquement clos, mais cecii dépndera de la dimension des espaces propres,

je dis ça et y a un truc qui me chiffone c'est que tu dis question de fin de khôlle sympa...

donc ..

[sandrine_guillerme]

rooo, 0 est complexe aussi, mais bon :we:

Je me suis fais avoir,

j'adore les exos comme ça ,

t'en a encore comme celui là ?

[sandrine_guillerme]

ay ay :briques:

déjà la topologie tout court .. je ne maitrise pas trop, ça m'étonerais grave que je trouve la solution mais je vais y réfléchir, je vais y réfléchir ..

[sandrine_guillerme]

si l'exo est tellement chelou , que j'aime bien au fait lol

je prend ma douche et je reviens lol

[sandrine_guillerme]

il est vrai, je suis un peu décalée comme fille en fait .. la douche je la prend tard pour me détendre .. mais bon ..

laissons cet exo se reposer comme une crêpe, et on verra ça de plus prêt demain ..

Bonne nuit et merci Rain'

[sandrine_guillerme]

Bon sniff

je n'ai eu aucune idée à propos ,
je ne vois pas du tout comment m'y prendre,

En gros je cale complet ..

[yos]

Juste une petite question de fin de khôlle sympa sur les matrices.

On prend une matrice de Mn(C) au hasard. est-elle inversible ? Est- elle diagonalisable ?

Tu aurais pu répondre à ton kholleur que "choisir une matrice au hasard" ça n'a pas de sens. C'est comme choisir un entier au hasard. S'il y avait une loi uniforme sur N ça se saurait, alors imagine sur .

[sandrine_guillerme]

Imagine même sur

J'ai trouvé bizarre que personne n'ait réagie .. lol ..