Matrice semblables .. (2)

[sandrine_guillerme]

Et tant qu'on y est,

j'avais montrè ceci mais je ne sais pas si c'est correct je le propose comme exo : si A matrice d'ordre 2, à coeficients dans C pour toute matrice commutant avec A^2 elle commute avec A

[sandrine_guillerme]

Pour le 1, je vois au moins un sens : si detM=1 ou -1, alors c'est OK par la formule de la comatrice. Je ne vois pas la réciproque pour l'instant.

M à valeurs dans Z inversible, on utilise la propriété que tu as montré taleur à je sais pas qui , det(AB)=det(A)det(B) on considère ici une matrice et son inverse, donc 1 ou -1 comme valeur de déterminant est bien une CNS,

P.S :merci Rain' pour ces très adorables exos ..

[serge75]

Bien vu sandrine !! :++: :++: :++:

[serge75]

Tiens sandrine (et les autres)... propose moi un contre-exemple à ton 'théorème de sandrine', à savoir donne moi deux matrices non semblables ayant pourtant même polynôme minimal.
Pis tant qu'on y est, prouve moi que ton théorème est vrai... lorsque n=2.

Tout autre, à la suite de l'exo de rain sur les matrices à coefficients entiers :
soit A une matrice à coefficients entiers dont les coefficiennts diagonaux sont impaires, les autres étant tous pairs. Montrer que A est inversible.
Amusez-vous bien...
Serge

[serge75]

j'les connaissais pas tes deux exos rain, mais il sont jolis... comme ils sont destinés à sandrine, je mets pas ma solution (que j'imagine être la même que la tienne)...

[sandrine_guillerme]

Bonjour serge et rain

Je suis sûr que ça me dit quelque chose, je vais chercher ça un petit peu.

oui bah cherche , cherche lol

Mais de rien, il s'agit juste des exos "faisables" du Méthod'X
Calculer det A.

sans ton indication, ça m'aurais étoné que je le trouve tu sais, mais tu n'as pas une autre méthode pour le faire ? (je le trouve pas sur Méthod'X)

[serge75]

Sandrine, les deux premiers sont complètements identiques. Le plus simple, écris les premières matrices, pour n=2,3 et éventuellement 4. Tu verras alors le phénomène apparaître.

[sandrine_guillerme]

je sais pas j'ai pas encore regardé du tout, je viens de rentrer, et je vais aller déj..

mais promis je les verrais de plus prês cet après midi, et d'ailleurs merci pour l'indication serge !

rain, oui en effet, méthode rapide.

[sandrine_guillerme]

Non je crois qu'elle parlait de AB= A²+A+In.

Oui exact

si on veut répondre à un message la prochaine fois, on le mes en citation, c'est plus pratique

[sandrine_guillerme]

Tiens sandrine (et les autres)... propose moi un contre-exemple à ton 'théorème de sandrine', à savoir donne moi deux matrices non semblables ayant pourtant même polynôme minimal.

serge, allez tant qu'on y est ;


(1 1 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 1)

et

(1 1 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)

polynome caractéristique c'est (X-1)^4 pour les deux,

même polynôme minimal (X-1)^2 ,

pourtant pas semblables ( les 3 vecteurs propres de A, sont libres, alors que ceux de B yen a que 2 qui le sont )

ALLEz j'y vais déjeuner .. :happy3:

[serge75]

Bravo sandrine.
je songeais pour ma part à deux matrices de projection l'une sur un plan, l'autre sur une droite, dans R^3.

[sandrine_guillerme]

Merci serge .. !

sur les matrices à coefficients entiers :
soit A une matrice à coefficients entiers dont les coefficiennts diagonaux sont impaires, les autres étant tous pairs. Montrer que A est inversible.
Serge

idée: on va raisonner avec les déterminants . (par réccurence sur une matrice carrée d'ordre n)



j'utilise la réccurence : 1ère forme


n= 1 vérifié. résultat : nombre impair.
Supposons le résultat vrai pour n-1 et montrons-le pour n.
celà revient à calculer le déterminant d'une matrice de taille n.

(a11,a12,....a1n)
(a21,a22,.........)
(.....................)
(.....................)
(an1,...........ann)

on développe par rapport à la première ligne et on voit tout de suite que le déterminant est impair, en regardant chacun des termes,
en effet, le 1er terme est le produit entre un nombre impair a11 et un déterminant d'ordre (n-1) (pour n=1 j'ai montré qu'il est impair, et la réccurence pour n-1 est vérifiée par hypothèse ..donc le 1er terme est un nombre impair.

Tous les autres termes sont des nombres pairs car ils sont le résultat du produit d' au moins un nombre pair .

Constat : Nous avons somme pair impair, résultat impair .

Le principe de la réccurence nous permet de conclure .

Conclusion : qui peut le plus , peut le moins, résultat impair implique bien entendu un déterminant non nul, donc à fortiori la matrice est inversible

et au passage ton exercice c'est le meilleur pour l'instant, j'ai beaucoup aimé, parcequ'en fait il suffit d'ecrire et se laisser porter par le stylo :happy3:

[sandrine_guillerme]

Merci Rain',


Je suis intéréssée par ta méthode aussi ; peux tu mieux l'expliquer stp ?

[sandrine_guillerme]

ahh oui je vois, c'est vrai qu'elle est un peu fatiguante, mais bon .. ça en ai une aussi

[sandrine_guillerme]

si A matrice d'ordre 2, à coeficients dans C pour toute matrice commutant avec A^2 elle commute avec A

amusez vous bien, il est très rapide, suffit d'écrire !

mais perso je le trouve joli ..

[sandrine_guillerme]

j'y ai pas encore cherché, quoique je préfère largement la question infaisable, parcequ'il y a pas mon nom dessus ..

[fahr451]

je reviens à mon tit exo dont rain a donné la soluce

c'est bien; manque juste le fait que le polynôme en t n'est pas nul (a priori il n 'est que de degré inférieur à n ) puisque en i il ne s'annule pas , et" pas nul" ne dépendant pas du corps C ou R

[serge75]

Une variante de la preuve de sandrine sur les déterminants :
soit f le morphisme canonique de Z dans Z/2Z, qu'on étant à une application de Mn(Z) dans Mn(Z/2Z).
De la formule développée du determinant, et du fait que f soit un morphisme d'anneaux, on a det(f(M))=f(det(M)).
Or f(M)=I, donc det(f(M))=1, et f(det(M))=1, donc det(M) est impair.

[sandrine_guillerme]

oui nous voici donc devant deux méthodes, je prèfère la tienne serge .. plus élègante et plus rapide, :lol4:

[serge75]

Plus élégante mais à condition de sortir la grosse artillerie ; d'une certaine façon ta preuve Sandrine est plus naturelle, même si le passage par Z/2Z est radical (mais à condition de bien sentir les propriétés de la projection canonique de Mn(Z) dans Mn(Z/2Z)).