Matrice semblable

[jojofroi]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice:
"Soit E=R^4 et f appartenant L(E), on note A la matrice de f dans une base B de E définie par
1 2 0 0
3 1 2 0
0 3 1 0 = A
0 0 3 1

On note c la matrice suivante
1 2t 0 0
3/t 1 2t 0
0 3/t 1 2t = C
0 0 3/t 1

Vérifier que A et C sont semblables, c'est a dire qu'il existe une base B' de E dans laquelle la matrice de f soit C.
On explicitera B' "
Merci d'avance pour votre aide.

[fatal_error]

Salut,

Moi j'essaierais ca:
C=BA
=>B=CA^{-1}
A est-elle inversible? Si oui B existe.

[alavacommejetepousse]

Salut,

Moi j'essaierais ca:
C=BA
=>B=CA^{-1}
A est-elle inversible? Si oui B existe.

C = BA ne dit pas A et C semblables

[jojofroi]

je sais que C = BAB^-1 dit que A et C sont semblables
si je cherche B tel que CB = AB cela pourrais marcher?

[Skullkid]

Bonjour, ça pourrait marcher mais ici tu peux procéder "à la main" pour trouver B' (d'autant plus qu'on te demande de l'expliciter) : appelle e1,e2,e3,e4 les vecteurs de B,

f(e1) = e1 + 3e2 = e1 + 3/t te2

Donc si tu poses e'1 = e1 et e'2 = te2, tu as le début d'une base B' qui pourrait convenir. En calculant f(e'2) tu trouveras un e'3, etc.

[Monsieur23]

si je cherche B tel que CB = AB cela pourrais marcher?

Attention, C = BAB^-1 nous donne CB = BA.

[jojofroi]

Merci Monsieur23 pour la rectification.
Par rapport a ce qu'a dit Skullkid, tu as calculer f(e1), il ne faudrait pas calculer f(e2) au lieu de f(e'2) pour trouver ensuite e'3 ?

[NICO 97]

Il n'y aurait pas plutôt "2" à la 3iéme ligne 4iéme colonne de A par hasard?

[jojofroi]

oui c'est ça nico97 désolé.il y a bien un 2 a cet emplacement.

[Skullkid]

Comme j'ai choisi e'1 = e1, ça revient au même de calculer f(e1) ou f(e'1). L'idée vient du fait qu'on remarque que f(e1) "ressemble" à f(e'1) (qui est lu sur la matrice C), et on définit e'1 et e'2 de façon à ce que tout concorde. Maintenant qu'on a e'2, on calcule f(e'2) de deux façons (grâce à A et à C), et on en déduit e'3 pour que ça concorde avec la matrice C.

Si cette méthode fonctionne, c'est parce que A et C ont une forme particulière.

[NICO 97]

Je me demndais sinon, si on ne pouvais pas interpréter en termes d'endomorphisme
A=A3+ID+A2
C=(1/t)A3+Id+tA2
Donc si f est l'endomorphisme qui est représenté par A3
et g l'endomorphisme qui est représenté par A3,
il faudrait montrer que f+g=(1/t)f+tg
Ou quelque chose comme ça...

[Joker62]

Et hop
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=61864
:p

[jojofroi]

Merci Skullkid pour tes explications.