Matrice rotation 2x2

[Aispor]

Bonjours,
Comment pourrait on montrer que la trace d'une matrice rotation vectorielle 2x2 est égal à 2cos(theta)
Merci

[Pseuda]

Bonjour,

L'expression générale d'une rotation vectorielle d'angle en dimension 2 est donnée ici :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_vectorielle

(dans une base directe ; dans une base indirecte, cela change en , mais ne change rien au résultat)

Il suffit d'additionner les éléments diagonaux pour obtenir la trace de la matrice : on obtient !!?

[Aispor]

Oui désolé j'ai mal posé ma question x)
Comment démontrer que l'on peut exprimer une matrice rotation 2x2 dans une certaine base afin qu'elle soit de la forme (cos(theta) ...)

[Ben314]

Salut,
Ben c'est passablement couillon :
Tu prend ta base "usuelle" (orthonormée directe) du Lycée et tu dit que l'image par la rotation d'angle du vecteur , c'est le vecteur par définition même de ce qu'est le cosinus et le sinus d'un angle et, concernant l'image de , ben il faut tourner l'image de d'un 1/4 de tour dans le sens direct or cette rotation d'un 1/4 de tour dans le sens direct, c'est le fameux (vu que et ) donc l'image de par la rotation d'angle , c'est (le "(-b,a)" de l'image de )

[Elias]

Ça dépend de la définition d'une matrice de rotation et perso, je pense surtout que dans la question poséepar Aispor, dans sa définition, on ne parle pas d'angle.
Une matrice R de rotation est une matrice orthogonale de déterminant 1.

En écrivant (dans une base orthonormée directe) les équations formées par l'égalité et utilisant le fait que , on s'en sort classiquement.

Il faudra également passer par la forme polaire (écrire un couple (x;y) de réels sous la forme x=rcos(\theta) et y=rsin(\theta))

C'est fait classiquement dans tout cours d'algèbre linéaire.

[Pseuda]

La matrice d'une rotation vectorielle est la même dans toutes les bases orthonormées de même sens => elle est toujours de la forme (cos(theta)...), theta étant l'angle de la rotation.
Evidemment tout dépend de la définition donnée au départ à une rotation vectorielle.

[Aispor]

Ok merci à vous tous !