Matrice question basique

[kmikazi]

Bonsoir, pouvez vous m'aidez pour cette question, ça fait tres longtemps que j'ai etudié les matrices et j'ai oublié comment faire pour cette question:

Dans R3 rapporté a la base canonique (e1; e2; e3), on considere l'application lineaire f dont
la matrice relativement a la base (e1; e2; e3) est
M = 4 1 1
-1 2 -1
-1 -1 2

(a) Soit v1 = -e1 + e3. Calculer f(v1). Qu'en deduisez-vous ?

[DamX]

Bonsoir, pouvez vous m'aidez pour cette question, ça fait tres longtemps que j'ai etudié les matrices et j'ai oublié comment faire pour cette question:

Dans R3 rapporté a la base canonique (e1; e2; e3), on considere l'application lineaire f dont
la matrice relativement a la base (e1; e2; e3) est
M = 4 1 1
-1 2 -1
-1 -1 2

(a) Soit v1 = -e1 + e3. Calculer f(v1). Qu'en deduisez-vous ?

Bonjour,

Dans la matrice la i-eme colonne est l'image du i-eme vecteur de la base par l'application.

f(v1)=f(-e1+e3)=-f(e1)+f(e3)=-(4,-1,-1)+(1,-1,2)=(-3,0,3)=3*(-1,0,1)=3*v1

Donc ... ?

Damien

[kmikazi]

oulah j'ai pas compris pourquoi ça fait 3*V1

[sizo0]

f(v1) = M*v1

[kmikazi]

Mais M est pas egale à 3, nn?
deplus on en deduit quoi?

[Ben314]

Bon, ce qu'on appelle la "base canonique", c'est la base e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1).
En temps que telle, elle ne sert pas à grand chose vu que le vecteur (x,y,z) ben il a comme coordonnées (x,y,z) dans la base canonique (mais elle est super utile lorsque tu verra les changement de bases)
Tout ça pour dire que v1=-e1+e3, ben ça veut dire que v1=(-1,0,1) et c'est pour ça que 3*(-1,0,1)=3.v1.

Ensuite le "qu'en déduisez vous", ça me fait penser que tu as du voir quelque part la notion de "valeur propre" et de "vecteur propre" d'une matrice...

[sizo0]

Mais M est pas egale à 3, nn?
deplus on en deduit quoi?

c'est un produit matricielle ! matrice 3x3 * matrice 3x1 donne matrice 3x1.

[kmikazi]

Bon, ce qu'on appelle la "base canonique", c'est la base e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1).
En temps que telle, elle ne sert pas à grand chose vu que le vecteur (x,y,z) ben il a comme coordonnées (x,y,z) dans la base canonique (mais elle est super utile lorsque tu verra les changement de bases)
Tout ça pour dire que v1=-e1+e3, ben ça veut dire que v1=(-1,0,1) et c'est pour ça que 3*(-1,0,1)=3.v1.

Ensuite le "qu'en déduisez vous", ça me fait penser que tu as du voir quelque part la notion de "valeur propre" et de "vecteur propre" d'une matrice...

Ah c'est bon j'ai compris mais du coup on en deduit quoi?

[Ben314]

Ah c'est bon j'ai compris mais du coup on en deduit quoi?

Ben, justement, à mon avis, tu es sensé en déduire que "Le vecteur v1 est un vecteur propre de la matrice M associé à la valeur propre 3"
Ce qui est le "vocabulaire" usuel pour justement traduire le fait que M.v1=3.v1 (avec v1 non nul)