Matrice à la puissance n

[megurine_luka]

Bonjour,



je dois calculer

A=

=?

je sais pas trop comment procéder, merci.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Tu es en première ou deuxième année ?

[megurine_luka]

début de seconde année

[Arnaud-29-31]

Tu n'as pas encore vu la réduction d'endomorphisme et comment diagonaliser une matrice ?

[megurine_luka]

je pense pas est-ce que c'est au programme de sup?

[Arnaud-29-31]

Et non, c'est au programme de seconde année.
Ton exo ne comporte que ça ou tu as été amené à faire autre chose avant ?

[megurine_luka]

Oui c'est tout un problème


l'énoncé est le suivant,

----------------------------------------------------------------------
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.

On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.

Partie I

On suppose que vovow = 0, que vow 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1 M2 et que M1 M2
2) Démontrer que E = N1 M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit la restriction de v à M2. Que dire de o ?
4) Déterminer le noyau et l'image de .
5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est

Partie II

On suppose que, relativement à une base donnée de E, u a pour matrice

A=

1)Calculer et , où I est la matrice identité de.

2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.

3)Déterminer une base respectivement de , et de .

4)Déterminer une base de E par rapport à laquelle l'endomorphisme u a pour matrice J=

5) calculer , puis pour n N*


j'en suis à la dernière question =

[Doraki]

Tu peux exprimer A^n en fonction de J ?

[mathelot]

re,

l'exponentiation est compatible avec la conjugaison,ie,

si alors

ça aide...

[Arnaud-29-31]

Tu as trouvé une base dans laquelle la matrice de u est J, donc A est semblable à J ...
Quelle est la formule qui lie A et J (en introduisant la matrice de passage d'une base à une autre) ??

[megurine_luka]

mais pour trouver une matrice de passage d'une base à une autre il me faut deux bases et j'ai seulement la base de E par rapport à laquelle l'endomorphisme u a pour matrice J=

j'ai pas la base de E par rapport a laquelle l'endomorphisme u a pour matrice A=

comment je fais pour trouver la matrice de passage?
désolé j'ai du mal avec l'algèbre...

[Doraki]

Comment tu as fait les questions 3 et 4 de la partie II ?
Et c'est quoi la base de la partie 4 ?

[megurine_luka]

base (v(s),s) de avec

dim =1 => x non nul (x) est une base de

dim =1 => y non nul (y) est une base de

[Arnaud-29-31]

??!! Comment as tu défini les vecteurs de la base dans laquelle la matrice de u vaut J si ce n'est pas comme combinaison linéaire des vecteurs de la bases canonique ?

Peut tu nous donner cette base que tu as trouvé ?

[megurine_luka]

une base de E peut etre la réunion d'une base de et d'une base de

une base de E est (v(s),s,) avec et

[Doraki]

T'as pris quoi concrètement pour s et e3 ?

La question 4 demande de "déterminer" une base, donc d'en choisir une explicitement. Dire "je prends un vecteur qui est dans tel sous-espace" est pas suffisant.

Et sinon, il vaudrait mieux réserver les noms e1,e2,e3, pour les vecteurs qui forment la base mentionnée au début de la partie II.

[megurine_luka]

Ben je ne sais pas :triste:
S appartient à M_2 donc si j'en détermine un je dois le prendre au hasard dans M2?

[Doraki]

Oui, il faut en choisir un. N'importe lequel.

[megurine_luka]

Ok et
est-ce que ma base de est bonne?

On a



La restriction de v à M2 étant nilpotente ( (v~)² = O) et comme v~ O, il existe un vecteur s dans M2 tel que v(s) 0

Etude de l'indépendance la famille (v(s),s).

.v~(s) + .s = 0 : (1)

En composant (1) par v~ :

.(v~)²(s) + .v~(s) = 0

Comme (v~)² = O, il reste .v~(s) = 0, et comme v~(s) 0, on en déduit que = 0. En reportant dans (1), on obtient = 0.

(v(s),s) est donc libre dans M2 et comme dim(M2) = 2, ce sera une base de M2.

[Doraki]

Oui, l'étude est bonne, mais c'est que tu as à faire dans la partie I ; tu n'as toujours pas choisi de s concret.

Peut-être que tu as besoin d'avoir une description concrète de M2 et N1 d'abord ?

Comment as-tu fait la question 3 ?