Matrice et polynome minimal

par **Blurk** » 27 Avr 2006, 14:32

Bonjour,
je viens d'arriver sur ce forum et j'aurais besoin d'aide pour trouver le polynome minimal d'une matrice donnée ... a quoi correspond t-il et comment faire pour le déterminer à partir d'une matrice?
Merci d'avance à tous pour votre aide,

par **zorg** » 27 Avr 2006, 14:51

C'est le polynôme de plus bas degré qui annule une matrice.

Il en existe forcément un car d'après Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique d'une matrice A d'ordre n est un polynôme annulateur de A et ce polynôme est de degré n.

Comment le trouver ? Je propose une méthode brutale: on commence par ragarder si la famille (I_n,A) est libre avec I_n=matrice identité.

On calcule A^2. On regarde si la famille (I_n,A,A^2) est libre

etc

Au bout d'un moment on arrive forcément sur une famille (I_n,A,A^1,..,A^p) lié. Donc il existe (a_0,a_1,...,a_p) des scalaires tels que

a_0I_n + a_1A + a_2A^2 + ... + a_pA^p=0

Le polynôme cherché est donc a_0+a_1X+...+a_pX^p

Peut-être existe-t-il une méthode moins lourde ? Je serai curieux de la connaître.

par **Blurk** » 27 Avr 2006, 16:39

merci pour toute cette explication !
et sur un exemple concret, si j'ai la matrice ( 2 4 0 )
( 0 2 3 )
(0 0 2 ) , est ce que je peux en déduire le degré du polynome minimal directement? et quels calculs précisement me permet de l'obtenir ? Parce que tous cela n'est pas encore très clair pour moi....

par **zorg** » 27 Avr 2006, 18:41

Comme je l'ai dit dans mon premier message, d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique de A annule A. Or le polynôme caractéristique de cette matrice est: P(X)=(X-2)^3

Donc ce polynôme est un polynôme annulateur de A. Ce n'est pas forcément le polynôme minimal.

Ce que j'avais oublié de dire c'est que le polynôme minimal divise n'importe quel polynôme annulateur de A donc le polynôme minimal doit diviser (X-2)^3 donc c'est soit X-2 soit (X-2)^2 soit (X-2)^3 lui-même.

On constate assez facilement que X-2 et (X-2)^2 ne sont pas des polynômes annulateurs de A.

Donc le polynôme minimal de A est (X-2)^3. Ce que l'on peut vérifier aisément par le calcul. (A-2I_3 est une matrice nilpotente d'ordre 3.)

par **nyafai** » 27 Avr 2006, 18:45

en général, il me semble qu'il faut souvent utiliser le fait que le polynome minimal divise le polynome caractéristique puisque celui-ci est déja annulateur. si le polynome caractéristique n'est pas trop compliqué, tu peux regarder dans les polynomes diviseurs de Xa si y en a un qui est annulateur

par **Blurk** » 27 Avr 2006, 19:05

merci beaucoup pour votre aide !!! :id:

par **Blurk** » 28 Avr 2006, 09:26

J'aurais encore une petite question..
Pour trouver le polynôme annulateur, on prend toujours la diagonale? ou si nous avons ici un cas particulier ? Et comment faire pour vérifier qu'un polynôme n'est pas annulateur ?...

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