Matrice et polynome minimal

[cendrillon]

Bonsoir,
j'expose mon exercice :
f est un endomorphisme de polynome minimal M.
P appartient à K[X]
Montrer que P(f) est inversible ssi pgcd(P,M)=1 .

1)
Si pgcd(P,M)=1
alors d'après Bezout il existe U, V tq
UP + VM = 1
donc U(f)P(f) + V(f)M(f) = id
or M(f) = 0
donc U(f)P(f)=id
on a aussi P(f)U(f)=id
donc P(f) est inversible.

Je coince pour la réciproque, j'attends vos suggestions ! Merci bcp :we:

[Nightmare]

Hello,

un indice : Si un endomorphisme u est inversible, alors son inverse est un polynôme en u.

[cendrillon]

Hello,

un indice : Si un endomorphisme u est inversible, alors son inverse est un polynôme en u.

Je n'arrive pas à faire le lien :hein:

[Nightmare]

En fait on a même pas besoin de ce résultat :

S'il existe un polynôme D différent de 1 tel que P=AD et M=BD, on peut montrer plusieurs choses sous l'hypothèse que P(u) est inversible :

1) B(u)D(u)=0

2) D(u) est inversible

3) deg(B) < deg(M).

Je te laisse montrer ces points et conclure.

[cendrillon]

En fait on a même pas besoin de ce résultat :

S'il existe un polynôme D différent de 1 tel que P=AD et M=BD, on peut montrer plusieurs choses sous l'hypothèse que P(u) est inversible :

1) B(u)D(u)=0

2) D(u) est inversible

3) deg(B) < deg(M).

Je te laisse montrer ces points et conclure.

En fait j'ai trouvé une démo sur internet qui utilise qqch de ce genre mais je ne comprends pas certains passages :
" si Pet M ne st pas premiers entre eux on peut ecrire M=QD avec D pgcd de M et P.
on a M divise PQ
donc P(f)Q(f)=0 alors que Q(f) différent de 0
puisque deg Q < deg M.
par suite P(f) n'est pas inversible. "

[Nightmare]

L'idée est la même :

Si PGCD(M,P)=D, M=QD et P=Q'D.

Alors PQ=M.P/D donc P(f)Q(f)=M(f)P(f)/D(f)=0.

En plus, D(f)Q(f)=M(f)=0.

Si D est différent de 1, alors Q(f) est non nul car sinon Q serait le polynôme minimal de f (car deg(Q) < deg(M)).

Du coup, on a P(f).Q(f)=0 et Q est un polynôme non nul. Si P(f) était inversible d'inverse I, alors I.P(f).Q(f)=0 donc Q(f) =0 ce qui est contradictoire avec ce qu'on vient d'énoncer.

[cendrillon]

L'idée est la même :

Si PGCD(M,P)=D, M=QD et P=Q'D.

Alors PQ=M.P/D donc P(f)Q(f)=M(f)P(f)/D(f)=0.

En plus, D(f)Q(f)=M(f)=0.

Si D est différent de 1, alors Q(f) est non nul car sinon Q serait le polynôme minimal de f (car deg(Q) < deg(M)).

Du coup, on a P(f).Q(f)=0 et Q est un polynôme non nul. Si P(f) était inversible d'inverse I, alors I.P(f).Q(f)=0 donc Q(f) =0 ce qui est contradictoire avec ce qu'on vient d'énoncer.

Merci Nightmare ! j'ai bien compris là :we: