Matrice : noyau et image

[rifly01]

Bonjour,

Comment en déduire sans aucun calcul le noyau et l'image, après avoir calculé le polynôme caractéristique, de cette matrice :



Le polynôme caractéristique de A est

Merci d'avance,

[ThSQ]

O n'est pas vp donc c'est injectif donc c'est surjectif.

[rifly01]

Merci,


Donc ker u = {0} et Im(u) = R3 ?

[nonam]

Exactement.

[rifly01]

Merci bien !

[rifly01]

Re,

Comment on peut démontrer ça ?

J'ai commencé un truc mais qui reste incomplet :

est valeur propre
si et seulement si,
si et seulement si,
si et seulement si,
si et seulement si,

Et après ça, je ne sais pas comment continuer ...

Comment finir ?

[Monsieur23]

Bonjour.



Tu prends pour lambda = 0, et le tour est joué.

[rifly01]

Re,

C'est très clair ce que vous dire.
Cependant je ne sais pas pourquoi il y a équivalence entre la dernière ligne et celle qui la précède.




Merci,

[Monsieur23]

Si Ker(f) = {0}, alors trivialement, pour tout x non nul, f(x) =! 0
Si pour tout x non nul, f(x) =! 0, alors Ker(f) inclu dans {0}.

Je ne vois pas très bien le problème.. Désolé

[rifly01]

Ah,

Et bien, je ne savais pas cette trivialité lol.

Merci beaucoup !

[Monsieur23]

Ben le noyau, c'est l'ensemble des vecteurs qui ont une image nulle.
Si y'a que 0 dans la noyau, y'a que 0 qui a une image nulle, donc pas les autres.

Non ?