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GagaMaths
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par GagaMaths » 03 Nov 2011, 21:33

MAXMAU

ce que je ne t'ai pas dit c'est que dans l'énoncé, on me demande d'utilsier la question 1), ou il fallait étudier la fonction f(x) = x - klnx ....
et là ça ressemble étrangement à ce que j'ai !



Maxmau
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par Maxmau » 03 Nov 2011, 22:03

GagaMaths a écrit:Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>=Somme (axi+byi+c) - (1/e)Somme (axi+byi+c)
>= Av - (1/e) ||v||

euh...


(Somme (axi+byi+c)) (1-1/e) >= (1-1/e)||Av||

GagaMaths
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par GagaMaths » 03 Nov 2011, 22:08

Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>= (1-1/e)||Av||
>= (1/K)(1-1/e)||v||

c'est ça ?

Maxmau
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par Maxmau » 03 Nov 2011, 22:39

GagaMaths a écrit:Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>= (1-1/e)||Av||
>= (1/K)(1-1/e)||v||

c'est ça ?

ok c"est bien ça

GagaMaths
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par GagaMaths » 03 Nov 2011, 22:53

Oui ça marche bien.. . ! bon le pb c'est que je n’utilise pas la question 1 de mon énoncé...
puisque ça me demandait d'étudier la fonction f(x) = x - k.lnx ...
piouu maintenant j'ai un pb avec ma matrice hessienne, car j'ai démontré qu'elle est définie positive , mais je n'arrive pas à montrer que = 0 implique u= 0 où C est la matrice hessienne de F.

parce que j'arive sur :
= 0 => xiu1 + yiu2 + u3 = 0 (avec les xi yi positifs défniis comme avant) pour tout i

je n'arrive pas à montrer que c'est vérifié, que si u1=u2=u3 = 0 ... !!

Maxmau
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par Maxmau » 04 Nov 2011, 09:21

GagaMaths a écrit:Oui ça marche bien.. . ! bon le pb c'est que je n’utilise pas la question 1 de mon énoncé...
puisque ça me demandait d'étudier la fonction f(x) = x - k.lnx ...
piouu maintenant j'ai un pb avec ma matrice hessienne, car j'ai démontré qu'elle est définie positive , mais je n'arrive pas à montrer que = 0 implique u= 0 où C est la matrice hessienne de F.

parce que j'arive sur :
= 0 => xiu1 + yiu2 + u3 = 0 (avec les xi yi positifs défniis comme avant) pour tout i

je n'arrive pas à montrer que c'est vérifié, que si u1=u2=u3 = 0 ... !!


parmi les points (xi,yi) 3 au moins ne sont pas alignés, par exemple (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3)
cela se traduit par le fait que le déterminant des 3 vecteurs (x1,y1,1) , (x2,y2,1) , (x3,y3,1) n'est pas nul.Conséquence:
x1u1 + y1u2 + u3 = 0, x2u1 + y2u2 + u3 = 0 , x3u1 + y3u2 + u3 = 0 est un système linéaire de 3 équations (où les inconnues sont u1,u2,u3) qui n'admet que la solution nulle

GagaMaths
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par GagaMaths » 04 Nov 2011, 21:39

Oui d'accord, j'ai compris ce que tu m'as dit mais je ne vois pas trop comment faire...

j'ai xiu1+yiu2+u3 = 0 pour tout i dans 1,...,250

donc après j'ai compris l'histoire des 3 points non alignés...
mais ça va marcher que pour ces trois points ?

Maxmau
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par Maxmau » 04 Nov 2011, 22:07

GagaMaths a écrit:Oui d'accord, j'ai compris ce que tu m'as dit mais je ne vois pas trop comment faire...

j'ai xiu1+yiu2+u3 = 0 pour tout i dans 1,...,250

donc après j'ai compris l'histoire des 3 points non alignés...
mais ça va marcher que pour ces trois points ?


Il suffit de ces 3 points là pour conclure u=(u1,u2,u3)=0
c'est bien ce qu'il fallait encore montrer pour conclure qu'on a bien une forme quadratique définie positive

GagaMaths
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par GagaMaths » 04 Nov 2011, 22:36

bon, je fais un blocage ;)

j'ai donc :
xiu1+yiu2+u3 = 0 pour tout i
donc en particulier : si (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) sont les trois points non alignés (quitte à réindexer) on a :
x1u1+y1u2+u3 =0
x2u1+y2u2+u3 =0
x3u1+y3u2+u3 =0
ce systeme equivaut à
Au = 0, mais A est inversible donc son noyau est trivial donc nécessairement u=(u1,u2,u3)= 0.


c'est ça en fait ?

Maxmau
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par Maxmau » 04 Nov 2011, 23:28

GagaMaths a écrit:bon, je fais un blocage ;)

j'ai donc :
xiu1+yiu2+u3 = 0 pour tout i
donc en particulier : si (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) sont les trois points non alignés (quitte à réindexer) on a :
x1u1+y1u2+u3 =0
x2u1+y2u2+u3 =0
x3u1+y3u2+u3 =0
ce systeme equivaut à
Au = 0, mais A est inversible donc son noyau est trivial donc nécessairement u=(u1,u2,u3)= 0.


c'est ça en fait ?

Oui c'est tout à fait ça

GagaMaths
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par GagaMaths » 05 Nov 2011, 01:24

Merci bcp Maxmau pour ton aide précieuse !....
Bonne nuit... ;)

GagaMaths
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par GagaMaths » 08 Nov 2011, 21:22

Maxmau j'ai un problème ;)

en effet quand on a étudié notre (axi+byi+c) Somme(axi+byi+c)-kiln(axi+byi+c)
on avait oublié les ki > 0 ! du coup ça change quand on étudie la fonction f(x) = 1 - klnx
car ça va dépendre du k !!!

GagaMaths
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par GagaMaths » 10 Nov 2011, 21:50

svp... !! merci !

Maxmau
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par Maxmau » 11 Nov 2011, 12:17

GagaMaths a écrit:Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.

Somme ln(ki!)
Je comprends que ce terme est indépendant de a,b,c
et donc je ne vois pas ce que ça change...

GagaMaths
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par GagaMaths » 11 Nov 2011, 13:41

pas celui_ci, celui qui est devant ln(axi+byi+c) !...
j'avais oublié les ki devant les ln, dans la 1ere somme !....
La fonction F(a,b,c) est :
F(a,b,c) = Somme ( (axi+byi+c).(1-kiln(axi+byi+c)/(axi+byi+c) ), aves les ki devant les ln !!
Donc la fonction à étudier n'est pas f(x) = 1 -lnx/x mais bien f(x) = 1 - klnx/x, qui n'est pas forcément minorée par une constante positive !...

la prof en a parlé et a parlé de séparer les 3 premiers termes de la somme (en considérant que ce sont les points non alignés) , et a parlé de "si une composante du vecteur tend vers +oo, alors la norme tend vers +oo)...
sachant qu'on a étudié à la question 1 la fonction f(x) = x-klnx, je ne vois pas comment réarranger F qui au départ s'écrit :
F(a,b,c) = Somme ( (axi+byi+c) - kiln(axi+byi+c) ) + Somme (ln ki!) (j'avais oublié les ki dans a première somme)... !!!

Maxmau
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par Maxmau » 11 Nov 2011, 18:52

Effectivement c'est pas la même chose

qq indic rapides

Not: si v = (a,b,c) , ||v ||1 = |a |+ |b |+ |c | , ||v ||2 =racine(a²+b²+c²) ,
||v ||inf = Max(|a|,|b|,|c|)

Indic
1/ montrer qu'il existe une constante m qui minore toutes les fonctions x-kiln(x)
2/ montrer qu'il existe une constante C tq pour tout i et tout x>C : x -ki ln(x)> x/2

3/ les points (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) sont supposés non alignés
wi = axi + byi +c , w =(w1,w2,w3)
montrer que pour ||w ||inf assez grand (supérieur à C)
(w1 - k1 ln(w1) + (w2 - k2 ln(w2) + (w3 - k3 ln(w3) > (1/2)||w ||inf + 2m

4/ montrer que la somme totale est > (1/2)||w ||inf + Q
où Q est une constante indépendante de a, b, c.

GagaMaths
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par GagaMaths » 16 Nov 2011, 21:44

Maxmau, en fait appremment ce qu'il faut faire c'est séparer les 3 premiers termes de F(a,b,c)

Ensuite faire le lien avec f(z) = z-klnz

mais je suis perdue !....

 

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