Matrice nilpotente

par **Mohamed Taoufiq** » 23 Avr 2008, 00:47

bonjour à tous
soit N une matrice carrée d'ordre n , Mq si N est nilpotente alors In-N est inversible
et merci

par **ffpower** » 23 Avr 2008, 01:04

Regarde le determinant(comme produit des valeurs propres)
autre methode,adapte la formule (1-x)^(-1)=somme des x^k

par **Mohamed Taoufiq** » 23 Avr 2008, 01:13

on a pas encore vu les determinants
et j'ai pas comprit la 2eme methode

par **Maxmau** » 23 Avr 2008, 06:24

Mohamed Taoufiq a écrit:on a pas encore vu les determinants
et j'ai pas comprit la 2eme methode

ou encore:
N est semblable à une matrice triangulaire de diagonale nulle et donc
I - N est semblable à une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont égaux à 1

par **alavacommejetepousse** » 23 Avr 2008, 08:17

ou encore
la seule valeur propre de N est 0 donc 1 pas valeur propre donc I-N inversible

ce qui se fait sans rien savoir

avec les endo associés

soit x dans le noyau de id - f

on a f(x) = x donc f^n (x) = x or f^n = 0 donc x = 0 ce qui prouve id-f injectif donc bijectif

par **ffpower** » 23 Avr 2008, 08:55

Ah oui,cette derniere methode semble la plus simple

par **abcd22** » 23 Avr 2008, 10:12

L'inconvénient des méthodes qui utilisent les valeurs propres, c'est que ça ne marche que dans ce cas particulier, si on avait eu un endomophisme en dimension infinie il aurait aussi fallu démontrer la surjectivité. Je pense qu'il vaut mieux connaître la solution avec Id = Id - N^m = (Id - N)(...), où m est tel que N^m = 0, qui marche avec les éléments nilpotents d'anneaux quelconques (pas seulement avec des endomorphismes) et ça peut toujours servir d'avoir cette factorisation en tête.

par **alavacommejetepousse** » 23 Avr 2008, 10:16

abcd22 a écrit:L'inconvénient des méthodes qui utilisent les valeurs propres, c'est que ça ne marche que dans ce cas particulier, si on avait eu un endomophisme en dimension infinie il aurait aussi fallu démontrer la surjectivité. Je pense qu'il vaut mieux connaître la solution avec Id = Id - N^m = (Id - N)(...), où m est tel que N^m = 0, qui marche avec les éléments nilpotents d'anneaux quelconques (pas seulement avec des endomorphismes) et ça peut toujours servir d'avoir cette factorisation en tête.

abondance de biens ne nuit pas

par **Mohamed Taoufiq** » 23 Avr 2008, 10:21

je vous remercie tous , j'ai comprit :id:

Matrice nilpotente

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