Matrice nilpotente

[janor]

Bonjour ! Je commence mon DM de 4 pages et je bloque déjà (depuis quelques jours) sur la première question (ça s'annonce bien!).
Énoncé : Jn est une matrice de taille n telle que tous ses coefficients sont nuls sauf ceux juste au dessus de sa diagonale qui valent 1.
Question : Montrer que Jn est nilpotente, donner son indice de nilpotence et son rang.

Remarque: nous avons pour tout i,j dans IN : (Jn)i,j = δ (i+1,j)

En essayant avec n=2 et 3, je me suis vite rendue compte que l'indice de nilpotence de Jn était sûrement n. Seulement je n'arrive pas à le prouver ! (j'ai essayé par récurrence mais cela semble compliqué : j'ai écrit Jn+1 par blocs afin de faire apparaître Jn dans mon hérédité mais ça ne m'a pas aidée...)
J'ai aussi calculé (Jn)² et dis que Jn^n=(Jn²)^n/2
seulement pour tout i,j dans IN, nous n'avons pas:
(((Jn)²)^n/2 )i,j = ((Jn)²i,j)^n/2
donc je ne peux pas utiliser la formule du produit de 2 matrices afin de terminer (Jn)^n grâce à (Jn)².

Donc me voilà bloquée, help!!!
Merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu peux voir que si est la base canonique, alors et pour . Ça peut aider.
Tu peux aussi chercher à déterminer le noyau de pour .

[janor]

Merci mais je n'arrive pas à exploiter ces pistes...

Si u est un endomorphisme tq MatB(u)=Jn avec B la base canonique, on a Jn^n=(MatB(u))^n=MatB(u^n) et...? Je ne sais pas où est-ce que ça peut me mener. Il faudrait que je montre que u^n(ek)=0 pour tout k dans [1,n].

Quant au noyau de Jn^k, je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour le déterminer.

[janor]

Je crois avoir montré que u^n(ek)=0 pour tout k dans [1,n] par récurrence et dans ce cas le résultat est montré: Jn est bien nilpotente. Pour montrer que son indice de nilpotence est n, un contre-exemple suffit-il ? Pour n=3 par exemple, (Jn)² n'est pas la matrice nulle.

[GaBuZoMeu]

Tu peux voir que si est la base canonique, alors et pour . Ça peut aider.

Que vaut (avec ta notation) ?

[janor]

La puissance est-elle bien prise au sens de la composition ? (u²=u o u)
Si oui alors u^k(en)=e indice n-k

[GaBuZoMeu]

Conclusion ?

[janor]

Je n'arrive pas à conclure à partir de ça, comment raisonnez-vous ?
Et en procédant par récurrence mon résultat est-il bien correct ? (avec le prédicat "u^n(ek)=0 pour tout k dans [1,n]" , l'hérédité se fait vraiment rapidemment)

[GaBuZoMeu]

(avec le prédicat "u^n(ek)=0 pour tout k dans [1,n]" , l'hérédité se fait vraiment rapidemment)

Peux-tu montrer ton raisonnement ?

Je n'arrive pas à conclure à partir de ça

Que cherches-tu ? N'est-ce pas un vecteur tel que pour tout ? Alors ?

[janor]

Je cherche à montrer que (Jn)^n=0
Or, on a (Jn)^n=(MatB(u))^n=MatB(u^n) et j'ai montré que, pour tout n, on a pour tout k :
u^n(ek)=0 ce qui montre bien que (Jn)^n=0

initialisation: n=1; J1=(0) donc u(e1)=0
hérédité: soit n dans IN. Supposons que u^n(ek)=0 pour tout k dans [1,n]
Soit k' dans [1,n+1]
u^(n+1)(ek)=u^n(u(ek))=u^n(e indice k-1)=0 d'après l'hypothèse de récurrence (car (k-1) appartient à [1,n])
ccl : le résultat est établi par récurrence

[GaBuZoMeu]

Pas très propre, ton : et ?

Moi j'écrirais plutôt si et sinon.

Alors, toujours pas trouvé de vecteur tel que ?

[janor]

u^(n-1)(e indice n) = e1 différent de 0 mais je ne comprends pas en quoi cela m'aide-t-il ?

[GaBuZoMeu]

Pour montrer que son indice de nilpotence est n, un contre-exemple suffit-il ? Pour n=3 par exemple, (Jn)² n'est pas la matrice nulle.

[janor]

Ah oui pardon j'avais oublié que j'avais posé cette question!
Merci beaucoup pour vos réponses et bonne continuation