Matrice inversible

par **aure555** » 01 Mai 2008, 13:59

Bonjour, j'aimerais faire la preuve de la propriété suivante :

Soit A une matrice n x n
A est inversible ssi le ranf de A est égal à n

mais je ne sais pas du tout par où commencer.
Auriez-vous des pistes pour me lancer dans la démo?

Merci à tous

par **mathelot** » 01 Mai 2008, 14:26

aure555 a écrit:Bonjour, j'aimerais faire la preuve de la propriété suivante :

Soit A une matrice n x n
A est inversible ssi le ranf de A est égal à n

mais je ne sais pas du tout par où commencer.
Auriez-vous des pistes pour me lancer dans la démo?

Merci à tous

Bonjour,

A est la matrice d'un endomorphisme f de

donc f est ...

par **alavacommejetepousse** » 01 Mai 2008, 14:27

bonjour

travaille avec des endomorphismes

par **aure555** » 01 Mai 2008, 15:20

Je dois avouer que je bloque là :triste:
Je ne vois pas trop ce que je peux dire sur f en ayant la dimension de son image

Un indice peut-etre pour me permettre d'avancer?

merci en tout cas de m'aider

par **mathelot** » 01 Mai 2008, 15:23

f est surjective car Im(f) est l'espace d'arrivée de f tout entier.

ensuite , avec le thm de la dimension, montre que f est injective.

par **aure555** » 01 Mai 2008, 15:55

Je dois donc montrer f(x1) = f(x2) => x1 = x2 pour x1,x2 dans

Je me suis renseigné pour le théorème de la dimension j'ai trouvé ceci

Théorème de la dimension
Soit V un K espace vectoriel ayant un système fini de générateurs. Alors toutes les bases de
V ont le même nombre d'éléments.

Je n'ai peut-être pas le bon théorème parce que je ne vois pas comment faire pour prouver l'injection...

Désolé mais là j'ai l'impression d'être nul par en math :nerf:

par **mathelot** » 01 Mai 2008, 16:02

dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

f est surjective ssi f est ....

par **aure555** » 01 Mai 2008, 17:01

Pour l'injectivité, comme Ker f = 0 par le théorème de la dimension, on a donc que f est injective.

par **mathelot** » 01 Mai 2008, 18:21

oui.

et injective+surjective=...

par **aure555** » 01 Mai 2008, 18:43

une fonction bijective...

Mais je ne vois pas comment montrer alors que la matrice est inversible

par **tize** » 01 Mai 2008, 22:55

Bonjour,
tu as dû voir dans ton cours que si l'on se donne une base

de l'ev E alors

est un isomorphisme d'anneau.

par **aure555** » 02 Mai 2008, 09:22

Bonjour,

l'idée d'anneau ne me dit pas grand chose

par **JQ_** » 02 Mai 2008, 09:37

Pour une fonction bijective

alors il existe nécessairement ?

par **aure555** » 04 Mai 2008, 10:58

mathelot a écrit:A est la matrice d'un endomorphisme f de
donc f est ...

Tu m'as permis de montrer que f est bijective... Cela permet-il de conclure la preuve?

Merci pour l'aide ça m'est bien utile

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