Matrice inversible

[ludwig]

Bonjour,
L'énoncé de mon exo est le suivant: Si les matrices a et b sont inversibles, montrer que l'on a l'équivalence (ab)²=a²b² équivaut à ab=ba
Donc on aurait (ab)(ab)=aabb donc comme a est inversible: a^-1(ab)(ab)=a^-1aabb donc Ibab=Iabb et comme b est inversible: donc Ibabb^-1=Iabb^-1 donc IbaI=IabI donc ba=ab. Le raisonnement est-il correct ?

[tize]

Bonsoir,
oui, ça me semble correct et dans l'autre sens ab=ba => (ab)²=a²b²

[simplet]

oui c bon. pour l'autre sens il n'y a quasi rien a dire, un seul signe égal suffit :-)

[ludwig]

Oui, les deux sens sont justes et démontrables. Par contre si j'ai une matrice carrée telle que A^k + C (indice K-1)*a^K-1+....+c(indice1) *A + C(indice0)* I =0 ; comment puis montrer que A est inverser pour ensuite donner une expression de A^-1 ?

[jose_latino]

À partir de , factorise à gauche et passe à diviser qui est différent de 0 (justifier)

[ludwig]

Donc en quoi le fait d'écrire: (expression de A) A /-C0 =I montre que a est inversible ?

[ludwig]

Suffit de dire que A^-1= (expression de A factorisé)/-C0
? et comment tu factorises A ?

[jose_latino]

À partir de , factorise à gauche et passe à diviser qui est différent de 0 (justifier)

donc , ça veut dire que

[jose_latino]

Donc en quoi le fait d'écrire: (expression de A) A /-C0 =I montre que a est inversible ?

C'est possible démontrer que s'une matrice carrée a une inverse à droite ( à gauche), celle-ci est une inverse à gauche (respectivement à droite). Une façon plus courte de dire tout ça c'est la suivante:

Pour des matrices A et B, carrée et du même ordre, ces sont équivalentes:

1. B est l'inverse à droite de A
2. B est l'inverse à gauche de A
3. B est l'inverse de A

[ludwig]

Très bien, j'ai noté. Encore une question:je veux montrer que si A et B sont deux matrices symétriques qui commutent alors AB est aussi une matrice symétrique.
Je fais: si A^T*B^T= B^T *A^T donc AB = (AB)^T

Ensuite j'en déduis que si A est symétrique alors A² est symétrique car A^T*A^T =(A²)^T, mais comment montrer qu'il en va de même pour A^K ?

[ludwig]

personne pour m'aider ?

[jose_latino]

Tout le monde est en vacances, except moi je crois :we:

Pour le problème en général fais une démonstration par récurrence. C'est presque la même idée que pour le cas n=2 (que tu as déjà fait)