Matrice inversible

[charbcabu]

Bonjour tout le monde
je suis en train de faire cet exercice mais je n'arrive pas à répondre à la troisième question et je ne comprends pas la réponse proposée par le corrigé, voilà l'énoncé:
Soit la matrice A= 0 -b a
b 0 -c
-a c 0
a) A est-elle diagonalisable dans M_3() ?
b) A est-elle diagonalisable dans M_3() ?
c) Soit un réel non nul, la matrice B=A+;)I_{3} est-elle inversible?
La réponse à cette question: Puisque 0 est la seule valeur propre réelle de A et puisque B est inversible si, et seulement si, ;) est valeur propre de A, on peut conclure que B est inversible pour tout ;)0.
Merci.

[zaidoun]

B est inversible ssi det (B)= det(A + I_{3}) , mais det (A + I_{3}) c'est exactement le polynôme caractéristique de A en (- ), donc det(A + I_{3}) ssi (- ) n'est pas une valeur propre de A càd ssi (- ) , or c'est le cas puisque est un réel non nul.

[Manny06]

Bonjour tout le monde
je suis en train de faire cet exercice mais je n'arrive pas à répondre à la troisième question et je ne comprends pas la réponse proposée par le corrigé, voilà l'énoncé:
Soit la matrice A= 0 -b a
b 0 -c
-a c 0
a) A est-elle diagonalisable dans M_3() ?
b) A est-elle diagonalisable dans M_3() ?
c) Soit un réel non nul, la matrice B=A+;)I_{3} est-elle inversible?
La réponse à cette question: Puisque 0 est la seule valeur propre réelle de A et puisque B est inversible si, et seulement si, ;) est valeur propre de A, on peut conclure que B est inversible pour tout ;)0.
Merci.

n'y a-t-il pas d'hypothèses sur a,b,c ?

[charbcabu]

@Zaidoun, det(A + I_{3}) 0 ssi (- ) n'est pas une valeur propre de A, je ne comprends pas cette partie de votre réponse et cela contredit ce que j'ai trouvé dans le corrigé.
@Manny06, non aucune.

Merci

[charbcabu]

@ Zaidoun, je crois que vous avez raison car je retrouve le même résultat ((- ;)) n'est pas une valeur propre de A), y aurait-il alors une faute dans le corrigé?

[sylvainc2]

Quand on additionne un multiple de I à une matrice A, les valeurs propres de cette matrice sont décalées de ce multiple e.g.: si on a Av=kv, et si on pose B=A+mI, alors une valeur propre de B est k+m.

Alors, si k=0 est la seule valeur propre réelle de A, si m est différent de 0, alors aucune valeur propre de B ne sera 0. Donc B est inversible dans ce cas.

Manny: on n'a pas besoin d'hypothèse sur a,b,c car le polynome caractéristique de A est -x*a^2-x*c^2-x*b^2-x^3 donc les valeurs propres sont 0 et +/- sqrt( -(a^2+b^2+c^2)) donc 1 réelle et 2 complexes, sauf si a=b=c=0 évidemment mais dans ce cas B est inversible si m différent de 0.