Matrice inversible et codiagonalisation

[jonses]

Bonjour,

j'essaye de faire un exercice de diagonalisation, mais je n'arrive pas à avancer. ça mélange diagonalisation et matrice inversible.

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Soit un sous-groupe commutatif de et soit

On suppose que

je dois montrer que tous les éléments de G sont diagonalisables dans une même base.

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Vu que tous les éléments de G commutent entre eux, il s'agit de montrer qu'ils sont tous diagonalisables. Le problème c'est que je n'arrive pas à exploiter le polynôme P : la présence de (X-2)^4 complique les choses.


Je me suis intéressé aux matrices de G ayant 2 dans leur spectre (les matrices de G n'ayant pas 2 dans leur spectre admettent (X^3 -1) comme annulateur qui est scindé à racine simple, on peut donc les écarter)
J'ai essayé de passer par l'absurde en supposant que
(en gros mon but c'est de montrer que l'espace caractéristique et l'espace propre associés à 2 sont égaux)

Mais finalement ça mène nulle part. Et là franchement je vois pas par quelle voie me lancer.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

si A est dans G, quelles peuvent bien être les valeurs propres de A² ?

[jonses]

si A est dans G, quelles peuvent bien être les valeurs propres de A² ?

1,j,j² ou 2 comme pour A. (A et A² sont tous les deux annulés par P car ce sont des éléments de G)
Et donc si A avait 2 comme valeur propre alors 2²=4 serait valeur propre de A² ce qui est impossible.

Donc on peut conclure que X^3 -1 annule A


Merci !

[Matt_01]

G est fini ou pas ? Je me pose la question si la partie concernant la base de diagonalisation commune reste vraie si G n'est pas supposé fini.

[jonses]

G est fini ou pas ? Je me pose la question si la partie concernant la base de diagonalisation commune reste vraie si G n'est pas supposé fini.

C'est un résultat assez classique de montrer que pour toute famille quelconque (éventuelle non finie) de matrice , si toutes les matrices de la famille commutent entre elles 2 à 2 et si elles sont toutes diagonalisables, alors elles sont diagonalisables dans une même base (d'ailleurs la réciproque est vraie).

Le plus simple est de le montrer par récurrence sur la taille des matrices. (la propriété à montrer c'est P(n):>)


Du coup, que G soit fini ou non n'influence pas