Matrice, endomorphisme et polynôme

par **Jonny** » 23 Mar 2009, 22:46

Bonjour, je bloque sur une question de DM, et j'aimerais un peu d'aide

J'ai établi qu'une certaine matrice A de M3(R) vérifiait :

(1)

On définit u comme l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base canonique est A.
On suppose que pour k R, il existe x

et différent de 0 tel que

Montrer que k est racine du polynôme :

J'ai utilisé l'isomorphisme qui existe entre les endomorphismes et les matrices pour transformer la relation (1) en

La relation est vraie pour tout y

, donc en particulier pour x,
on a donc grâce à la linéarité de u :

Je suis coincé ici, autrement dit, comment faire disparaitre ce x ?

Merci d'avance =)

par **yos** » 23 Mar 2009, 22:52

Jonny a écrit:J'ai utilisé l'isomorphisme qui existe entre les endomorphismes et les matrices pour transformer la relation (1) en

Id après le b.
Et plus haut il faut supposer x non nul.

par **Nightmare** » 23 Mar 2009, 22:54

Salut :happy3:

Tu as

.

En admettant que x est non nul ( ce qui n'est pas précidé dans l'énoncé mais normalement il doit l'être) on a donc P(k)=0

:happy3:

par **Jonny** » 23 Mar 2009, 23:06

Merci à vous, j'ai oublié de noter que x différent de 0 (c'était précisé ^^) et le Id, je vais corriger.

Nightmare je comprends pas les notations :
Par P(k)x tu entends P(k)*x ?? Et P(u)(x) ?

Mais dans ce cas que faire de mon coefficient b, qui n'est pas multiplié par x ?

Je passe peut-être à coté d'un truc gros comme une maison, mais là je nage :S

Edit : Oula, c'est bon j'ai compris, la faute vient du Id justement, merci beaucoup ^^

par **Nightmare** » 23 Mar 2009, 23:11

Oui P(k)x=P(k)*x

P(u)(x) désigne l'image de x par l'endomorphisme P(u).

Autrement écrit :

On montre rapidement que pour tout i,

On a donc :

:happy3:

par **Jonny** » 23 Mar 2009, 23:19

On a pas plutôt :

??

Mon erreur (si j'ai bien compris) vient de ne pas avoir noté le Id. En composant par x, j'oubliais de compter l'identité, et donc impossible de simplifier après... :S

par **Nightmare** » 23 Mar 2009, 23:20

Si, il manque le x effectivement.

par **Jonny** » 23 Mar 2009, 23:24

Merci de ton aide :)

edit : histoire de pas up le topic,

bien sûr que je remercie aussi yos, je l'ai fait plus haut mais je te répondais plus particulièrement puisque l'échange avait continué avec toi ^^

par **Nightmare** » 23 Mar 2009, 23:27

Je t'en prie. :happy3:

Cela dit, Yos t'as indiqué la solution aussi, je ne suis pas le seul à remercier :lol3:

Matrice, endomorphisme et polynôme

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