Matrice diagonalisable

[Acn]

Bonjour !

Je dois diagonaliser la matrice A 3x3 suivante: (et écrire la matrice de passage et son inverse)

0 0 -2
0 3 0
0 0 8

C'est une matrice triangulaire (supérieure), donc ses valeurs propres sont ses termes diagonaux.
Ils sont tous les trois distincts, donc cette matrice admet 3 valeurs propres, donc elle est diagonalisable (dimension 3),
donc il existe un matrice de passage inversible formée de vecteurs propres P telle que: A=PDP^-1 avec D diagonale.

Jusque là pas de soucis.
Le problème, c'est de trouver P, ou plutôt les vecteurs propres associés aux valeurs propres.

Pour 0:
je cherche le sous espace propre associé, donc le Ker, et déjà il est de dimension 2... ça commence mal :s
Je trouve E0=Vect{(1,0,0),(0,1,1)}

E3=Vect{(0,1,0)}
E8=Vect{(1,0,-4)}

Donc en prenant "au pif" un des 2 vecteurs du Ker pour former la matrice de passage P, je trouve:
1 0 1
0 1 0
0 0 -4

et il se trouve que ça marche.

Bref pourriez-vous svp m'éclairer sur mon (mes) erreur(s), qui m'ont permi d'arriver à ce résultat?
Merci :)

A.

[Joker62]

Hello
Le problème vient forcément du E_0 comme tu l'as remarqué

Refais le calcul, tu trouveras vect{(1,0,0)}

Et surtout, n'hésiter pas à vérifier vos calculs avec les outils mis à votre disposition :

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=9I2A1CCF8A.1&+lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Fmatrix.fr

[tize]

Pour 0:
je cherche le sous espace propre associé, donc le Ker, et déjà il est de dimension 2... ça commence mal :s
Je trouve E0=Vect{(1,0,0),(0,1,1)}

Bonjour,
c'est faux, comment as tu fait pour trouver cette dimension et ces deux vecteurs ?

[EDIT] Salut Joker :we:

[Acn]

Hello :)
Merci pour vos réponses.

E0 est pour moi le Ker de la matrice, je cherche le triplet (x,y,z) tel que

(0 0 -2) (x) (0)
(0 3 0) (y) = (0)
(0 0 8) (z) (0)

(les parentèses pour délimiter la matrice et les 2 matrices colonnes)

Donc je trouve:
-2z=0
3y=0
8z=0

d'où: y=z

D'où deux possibilités pour moi: (1,0,0) et (0,1,1), mais il y a quelque chose que je n'ai pas du saisir :/ comment traduire le x qui n'apparaît pas (enfin 0x=0 quoi)


PS: merci beaucoup pour le lien avec les outils :))

[fatal_error]

edit:a du mal a lire.

[tize]

Donc je trouve:
-2z=0
3y=0
8z=0

d'où: y=z

Non, attention : y=z=0 et x peut prendre toutes les valeurs possibles...

Bonjour,

Le determinant de A est nul donc ta matrice n'est pas inversible.

C'est vrai mais je ne vois pas le rapport avec le problème...

[Acn]

Non, attention : y=z=0 et x peut prendre toutes les valeurs possibles...

Donc E0 (qui est équivalent au Ker) est engendré par les vecteurs {(0,0,0),(1,0,0)} si j'ai bien compris?

[Joker62]

Depuis quand on met le vecteur nul dans un Vect {} ???
Il suffit juste de prendre un vecteur avec la première composante non nul
Il suffira pour engendrer tout E_0

Edit : Salut Tize :)

[Acn]

Je crois avoir bien tout compris merci beaucoup à tous pour vos réponses :)