Matrice dans une base canonique

[mamas67]

Bonjour,

Alors voilà, j'ai une application linéaire telle que s(P)(x) = P(1-x), ou P appartient a Rn[X], x un réel .
On me demande de d'expliciterl le degré de s(P) en fonction de celui de P, puis on me demande d'en déduire une caractéristique de la matrice de s dans la base canonique de Rn[X]

J'aurais juste aimé avoir une confirmation

J'ai trouvé d°[s(P)] = d°(P)
Et ensuite la matrice de s dans la base canonique de Rn[X] est bien une matrice triangulaire supérieure, c'est ça ?

Merci d'avance =]

[BiancoAngelo]

Bonjour,

Alors voilà, j'ai une application linéaire telle que s(P)(x) = P(1-x), ou P appartient a Rn[X], x un réel .
On me demande de d'expliciterl le degré de s(P) en fonction de celui de P, puis on me demande d'en déduire une caractéristique de la matrice de s dans la base canonique de Rn[X]

J'aurais juste aimé avoir une confirmation

J'ai trouvé d°[s(P)] = d°(P)
Et ensuite la matrice de s dans la base canonique de Rn[X] est bien une matrice triangulaire supérieure, c'est ça ?

Merci d'avance =]

Bonjour, effectivement, les polynômes ont même degré.
C'est étrange que la question soit posée "En déduire que...".
Ou alors c'est moi qui ne suis pas au fait.

Quoi qu'il en soit, la matrice sera bien triangulaire supérieure, vu que pour calculer le coefficient de degré n, il suffit de faire le calcul de , celui de degré n-1 le calcul de et de , etc. C'est-à-dire que la nième coordonnée ne dépend que de la nième, la "n-1"ème de la n-1 ème et de la nième...

:++:

[mamas67]

Super !
Merci beaucoup =]

[mamas67]

Du coup, moi j'ai envie de dire que s est diagonalisable parce que sa matrice dans la base canonique est triangulaire et a donc n+1 valeurs propres distincts ( les n+1 coefficients diagonaux de cette matrice justement )

Mais j'ai le désagréable sensation que mon raisonnement n'est pas si juste que ça ... =]

[zygomatique]

salut

si s(P)(x) = P(1 - x) alors s(s(P))(x) = P(x)

donc

:zen:

[mamas67]

Oui ça je l'avais aussi trouvé ( et ça montre que 1 et -1 sont valeurs propres possibles de s ) , mais je vois pas comment m'en servir pour montrer que s est diagonalisable ...

[zygomatique]

s est bijective et deg(s(P)) = deg(P)

que penser de ou

... faut voir ....