Matrice compagne, valeur propre

[helix]

bonjour,
il s'agit de l'extrait d'un concours, je bloque à une question dont voici l'énoncé :

hypothèses de départ: somme(ar, r : 0 ... k-1) = 1
pour r de 0 à k-1, ar>0
polynôme caractéristique : Q(x) = X^k - somme(ar*X^r, r : 0 ... k-1)

hypothèse de la question : Q(exp(ia))=0, a réel.
montrer que somme(ar*cos((r-k)*a), r : 0 ... k-1) = 1

mon idée de départ était de prendre la partie réelle de Q(exp(ia))=0,
ie cos(k*a) - somme(ar*cos(r*a), r : 0 ... k-1) = 0.

on peut aussi écrire
somme(ar, r : 0 ... k-1)*cos(k*a) - somme(ar*cos(r*a), r : 0 ... k-1) = 0.

puis, les formules de trigonométrique ne me sauvent pas...

[aviateurpilot]

donc