Matrice circulante
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girdav
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par girdav » 07 Nov 2009, 19:10
Bonjour à tous.
Je vous propose de calculer le déterminant suivant:
pour
et
.
Ceux qui connaissent déjà peuvent laisser les autres chercher.
Bonne chance!
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Nov 2009, 19:55
Salut !
Voici ce que j'ai :
Je note M la matrice dont on calcule le déterminant. On a
avec J la matrice ayant un 1 en bas à gauche, que des 1 sur la diagonale supérieure et 0 autrement.
Les J sont diagonalisables et leurs valeurs propres sont les racines (n-1)ème de l'unité. On en déduit rapidement en notant
que
Aux erreurs d'indice près !
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girdav
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par girdav » 07 Nov 2009, 20:07
Toi tu dois faire partie des gars qui connaissent!
J'avais raisonné avec la matrice
et ses puissances mais le résultat est heureusement le même.
Je me souviens d'avoir déjà essayer de calculer ce genre de déterminants avec la formule
avec les
les coefficients de la matrice en question parce que je croyais que c'était le genre de matrice qui semble bien s'y prêter mais sans succès.
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Nov 2009, 20:09
J'ai pas très bien expliqué ma décomposition mais l'idée était de voir que les colonnes successives s'obtiennent par répétition de permutation de la première colonne, où l'on prend la permutation associé au cycle qui à 1 associe n, 2 associe 1, 3 associe 2 etc.
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Nov 2009, 20:11
Non je ne connaissais pas, joli en tout cas :happy3:
A première vue je crois bien qu'on peut calculer le déterminant en utilisant sa définition. Je vais essayer de chercher un peu sur cette voie.
(Au passage ton raisonnement est identique au mien, ta matrice A est ma matrice J)
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dudumath
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par dudumath » 08 Nov 2009, 12:22
ce determinant est facile à calculer en diagonalisant J, le faire à la bourrin ne mène pas à grand chose (enfin d'après mes recherches, ou alors je n'ai pas assez cherché^^)
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Doraki
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par Doraki » 08 Nov 2009, 13:08
On peut faire une toute petite généralisation avec
pour
et
.
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girdav
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par girdav » 09 Nov 2009, 23:23
Il faut cette fois-ci se servir de matrices de la forme
On a alors que la matrice dont on calcule le déterminant est
On a donc affaire aux racines
-ièmes de
.
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