Matrice carré , discussion , 2 paramètres

[Gegetaka]

Bonjour tout le monde

J'essaie de résoudre un cet exo mais j'ai du mal à le faire

Enoncé : Déterminer dans quel cas la matrice A est inversible ( A est une matrice carré d'ordre 3)

a b b
b a b
b b a


Mon soucis : Je sais qu'une matrice carré est inversible que lorsque son déterminant est non nul , en général , j'arrive à ma solution quand il y a un unique paramètre mais comment proceder avec 2 ?

Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour
Tu calculs le déterminant en fonction de a et de b.
De toute façon si a=b la matrice est de rang 1, cela voudra dire que tu pourras mettre (a-b)^2 en facteur.

[Ben314]

Salut,

De toute façon si a=b la matrice est de rang 1, cela voudra dire que tu pourras mettre (a-b)^2 en facteur.

Tu as une preuve (élémentaire) de ça ?

[pascal16]

il faudrait que tu y arrives avec 2 paramètres :
en développant par rapport à la première colonne : a(a²-b²)-b(...)+b(...)
la simplification se fait toute seule


variante :
(1)cas a= 0.
(2)sinon, tu divises par a toute la matrice et tu n'as plus qu'un seul paramètre : "b/a". Certes le déterminant est modifié, mais la résolution de det=0 ne change pas.

[aviateur]

@ben j'ai déjà donné une preuve dans un post récent où la matrice était de de taille n (uniquement pour le déterminant) et où tu étais intervenu.
Ici c'est pas trop le but avec n=3 on peut calculer à la main et j'aide @gegetaka en lui faisant remarquer que l'on peut mettre (a-b)^2 en facteur c'est tout .
Pour moi le résultat est évident quand on est assez familiarisé avec les perturbations des opérateurs linéaires et une fois que l'on a vu qu'avec a=b la matrice est de rang 1.
(d'ailleurs je conseille de voir le livre de T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, New York (1980) qui est très bien fait puisque qu'il met le lecteur en confiance avec des tas d'exemples d'opérateurs en dim finie au début de son livre)
Maintenant on peut expliquer le résultat avec des arguments élémentaires: soit en raisonnant sur le polynôme homogène à 2 variables a et b qu'est le déterminant ou alors comme ci-dessous:
On note la matrice et
Det(M_a) c'est aussi ou est le polynôme caractéristique de A.
Mais c'est évident que est de rang 1 ce qui est équivalent à dire que -b est valeur propre de A de multiplicité n-1. Mais tr(A)=0 donc la dernière valeur propre est (n-1) b (ici 2 b).
On en déduit donc et puis le déterminant de

[Rdvn]

Bonjour,
Pour Gegetaka : sur ce genre de problème, on peut parfois se simplifier la vie en observant les termes de la matrice : ici ils sont tous a ou b, leurs différences seront zéro ou a-b ( ou b-a = - (a-b) ).
Fait (par exemple) : colonne1-colonne3 et colonne2-colonne3, tu as vite un problème plus simple...
Cordialement
Rdvn

[aviateur]

Bjr
RDvn, Evidemment pour @gegeteka on n'envisage pas autre chose que de lui suggérer de calculer le déterminant en lui indiquant simplement qu'elle doit voir dans son calcul une factorisation par (a-b).
Le reste de la discussion s'adresse à celui qui sait exactement ce qu'est une matrice carrée.

[Rdvn]

Bonjour
Tout ceci n'était destiné qu'a orienter Gegetaka vers une méthode moins lourde que développer par colonne,
et permettant de voir le "pourquoi" de (a-b)^2, en restant dans l'élémentaire.
Cdlt
Rdvn

[aviateur]

Oui RDvn, on bien compris ce que tu dis: si on calcule le déterminant on obtient une forme développée et alors qu'il sera difficile d'arriver à la factoriser (car c'est cela que l'on veut pour arriver à voir quand il est nul).
Donc, il est préférable de faire comme tu dis, tes opérations sue les colonnes (ou lignes) de façon à chercher une factorisation a priori. Et c'est ça que @gegetaka devrait comprendre. Mais visiblement il y a un silence radio de son côté.

[Ben314]

Vu qu'il semblerais que @gegetaka ne soit plus là, je peut éventuellement poser la question telle qu'elle m'est venue à l'esprit en voyant le post d'aviateur :
Soit M(t) est une matrice carrés nxn dont les coeff. sont des polynômes en .
Si le rang de M(to) est n-2 peut-on en déduire [facilement ?] que déterminant de M(t) [qui est aussi un polynôme en t] est divisible par (t-to)^2 ?

[aviateur]

C'est une bonne question. Je sais qu'avec le livre de Kato j'aurai pu te répondre rapidement car je suis sûr que c'est dedans. Malheureusement je ne l'ai plus en ma possession.

De toute façon tu veux une réponse avec des arguments simples, c'est à dire avec des connaissances de base.
Je pense que c'est possible et je vais y réfléchir plus tard. Je pense que c'est possible comme dans la situation précédente mais c'était une situation très simple.

Ceci étant dit. On se ramène sans problème. Et on se place dans le corps des complexes.
On désigne par M(z) la matrice de taille n (où si on veut l'opérateur linéaire qu'elle représente). Posons tes hypothèses sont que les coefficients de M(z) sont des polynômes en z, donc M(z) est analytique et est de rang n-k (, 2 par exemple ) .
Moralement, une des idées de base que l'on trouve dans Kato c'est que le spectre de M(z) dépend continument de z.
C'est dire que si on désigne par le spectre de M(z) et bien le spectre de c'est :
Mais par hypothèse le rang de c'est . C'est à dire que le noyau de est de dimension k, i.e 0 comme valeur propre est de multiplicité au moins égale à k.
Le spectre de est donc de la forme après avoir arrangé convenablement le spectre de M(z)).
On a alors et donc, avec l'argument de continuité, on a bien que 0 est racine d'ordre au moins k.

ceci répond en partie à ta question.
Reste à trouver des arguments simples qui sont à mon avis de passer par le fait que l'application est analytique sur

[Ben314]

Bon, déjà, au moins au départ, je m'en fout un peu que ce soit "simple" où pas.
Donc par exemple là, que tu évoque que l'on peut suivre continuement les racines d'un polynômes à coeff. dépendant (continuement) d'un paramètre z, c'est clair que c'est pas du tout du "élémentaire", mais c'est pas grave.

Par contre, je suis quand même pas convaincu par ta preuve, plus précisément là :

On a alors et donc, avec l'argument de continuité, on a bien que 0 est racine d'ordre au moins k.

Tes fonctions sont continues, mais tu ne peut pas dire grand chose de plus (elle ne sont pas forcément dérivables en les points zo où le polynôme admet des racines multiples donc en particulier, il est très très peu probable qu'elle soit polynomiales en z).
Donc pourquoi n'aurait on pas (par exemple) un truc plus ou moins du style ; qui sont bien continue et nulle en 0 mais dont le produit est le polynôme qui a 0 comme racine simple ?

P.S. Je passe sur le sous-forum "énigme" : ça sera quand même mieux placé...
enigmes/rang-une-matrice-coefficients-variable-t198423.html