Matrice et bases

[mehdi-128]

Bonjour,

Pour ceux qui comptent me faire un commentaire car j'ai posé la question dans un autre forum, je rappelle que j'ai pas eu de réponse, et j'ai envie d'avancer ça m'énerve de rester bloquer alors je la pose ici au cas où quelqu'un pourrait me répondre.

Soit g l'endomorphisme de R^n tel que la matrice de g dans la base canonique de R^n soit B.


1/ Montrer que
J'ai réussi en faisant :

On trouve :


Soit donc et
Donc : et
Soit :
On obtient x=0.
Finalement :

2/ En déduire que la matrice B est semblable à une matrice du type
Où B' est une matrice carrée d'ordre 2 inversible.

3/ Calculer les traces des matrices B et B^2 et en déduire les valeurs propres de B'.
4/ En déduire les valeurs propres de ainsi que la dimension des sous espaces propres associés.

J'y arrive pas à la question 2 .

Merci d'avance.

[pascal16]

ta matrice a n-2 colonnes nulles, elle est au plus de rang 2.
pour n>=2, la première et la dernière colonne représentent des vecteurs non liés, donc elle est de rang au moins 2.
finalement, la matrice (comme l'endomorphisme) est, pour n>=2, de rang 2.

[mehdi-128]

Pascal, oui la matrice B est de rang 2. La dimension de l'image est 2 et celle du noyaux (n-2).

Mais ensuite j'ai pensé à la base adaptée à la somme directe, je prends une nouvelle base :


Où : et

Je dois calculer les images des vecteurs de la base B' par g ? Je peux déterminer exactement B' ?

[Ben314]

Je dois calculer les images des vecteurs de la base B' par g ? Je peux déterminer exactement B' ?

Oui, c'est bien ça.
Et même, vu l'énoncé, on ne te demande pas (pour le moment) les valeur composant la matrice B' donc il te suffit d'expliquer pourquoi il va y avoir des 0 aux endroits désiré et pourquoi la matrice B' est inversible.
Tu as même une (petite) indication, à savoir le "en déduire que" qui te dit qu'on peut démontrer le résultat uniquement à l'aide de la propriété Im(g)+Ker(g)=E.

[mehdi-128]

Merci à vous.

Ma base adaptée est :

on a :
Donc la matrice de g dans la nouvelle base possède n-2 colonnes de 0.

Maintenant il faut montrer que la matrice B' est de dimension 2 et là on est obligé de calculer les images de u1 et u2 par g.
Les 2 dernières colonnes ne sont pas nulles.




Donc B' est de dimension 2 et de rang 2 donc B' est inversible.

Je suis pas sûr est-ce correct ?

[Ben314]

Oui, c'est bon.
On pouvait aussi écrire (sans calculs) que g(u_1) et g(u_2) sont (évidement) dans Im(g), c'est à dire dans vect(u1,u2) ce qui prouve que dans les deux dernières colonnes de B, seules les deux lignes du bas sont éventuellement non nulles.
Ensuite, comme le rang de B est égal à celui de A, c'est à dire 2, c'est que B est de rang 2, donc B' aussi (vu que ce sont les seuls coeff. de B éventuellement non nuls) donc B' est inversible.

[mehdi-128]

Vous utilisez que Im(g) est stable par g ? Je vois pas comment montrer sans calcul que : g(Im(g)) c Im(g)

Ensuite j'ai un souci quand il disent de déterminer les valeurs propres de B' comment on sait que B' est diagonalisable ?

Pour la trace pas de problème particulier :
donc
donc

[Ben314]

Le fait que g(Im(g)) est contenu dans Im(g), c'est une "évidence évidente" : Im(g) c'est l'ensemble de TOUT les g(n'importe quoi dans E) et g(Im(g)) c'est les g(certains élément de E) donc évidement que c'est une partie de Im(g).
Et si tu prend absolument n'importe quelle partie F de E, par exemple un sous espace vectoriel, tu aura évidement g(F) contenu dans Im(g).
Et pour bien voir que c'est une "évidence évidence", je peut même te dire qu'au début, j'ai pas compris ta question : pour moi lorsque j'ai écrit g(u1) et g(u2), je regardait les vecteurs u1 et u2 simplement comme des vecteurs (quelconques) de E, donc bien évidement g(u1) et g(u2) sont dans Im(g).
Mais effectivement, tu as raison, on sait EN PLUS que u1 et u2 sont dans Im(g) et ça signifie que g(u1) et g(u2) sont dans g(Im(g)) et il faut bien voir que c'est évidement "plus précis" que de simplement dire qu'ils sont dans Im(g). Sauf qu'en fait, ce "plus précis", ben ici on en a pas besoin vu le raisonnement qu'on fait...

Sinon, concernant le fait que B' est diagonalisable, tout dépend de ce que vous avez fait en cours.
Si tu les as vu, les "bonnes" notions à utiliser sont, à mon avis, celle de "polynôme caractéristique" et de "valeur propres". Si tu as pas vu la notion de polynôme caractéristique, tu peut à la rigueur chercher à la main s'il y a des "vecteurs propres".

[mehdi-128]

Oui j'ai vu tout le programme de MPSI et MP même si ça date. Donc tout le cours sur diagonalisation.

Y a une chose que je comprends pas : quand on diagonalise une matrice, on trouve une base où elle est diagonale or ici la matrice n'est pas diagonale non ?



Un corrigé donne sans calcul du polynôme caractéristique ni explicitation de B' : "B' a 2 valeurs propres et dans C"

Pourquoi dans C ? Et comment savoir qu'elle a 2 valeur propres ?

La suite c'est trivial, on détermine les valeurs propres de B' à l'aide des relations sur la trace de ' et

[mehdi-128]

Sinon j'ai fait le calcul du polynôme caractéristique de B' :



Les valeurs propres de B' sont donc : et
D'après le théorème de Cayley Hamilton P est un polynôme annulateur à racines simples donc B' est diagonalisable.
Donc B' est semblable à une matrice diagonale.

Il me reste que la dernière question : trouver les valeur propres de

Il faut montrer que B est semblable à une matrice diagonale là je vois pas trop.

[Ben314]

Bon, déjà, un rappel (=piqure...) : dire qu'une matrice est diagonalisable, ça veut dire qu'il existe une base dans laquelle l'endomorphisme correspondant a une matrice diagonale. Et évidement, ça veut pas dire du tout que l'endomorphisme a une matrice diagonale dans toutes les bases.
Donc ici, le fait que dans la base (e2,...,e(n-2),u1,u2) ça donne un truc non diagonal, ben ça prouve absolument pas que c'est pas diagonalisable. Tout ce que ça prouve, c'est que si c'est diagonalisable, ben c'est pas dans cette base là...

Sinon, les traces de B, B², B', B'² c'est bien ça.
Ensuite, effectivement, que ce soit dans l'énoncé ou dans la correction, AVANT de parler des valeurs propres de B', ça serait quand même pas con de justifier qu'elle est diagonalisable (et donc qu'elle a bien 2 valeur propres).
Sauf que si tu fait la vérif. telle que ça vient à l'esprit, à savoir de calculer le polynôme caractéristique (ce qui prend 10 secondes vu que c'est une matrice 2x2), tu trouve P(X)=X²-1 et tu as immédiatement que les deux valeurs propres c'est 1 et -1 (donc le calcul fait sur les traces te sert absolument à rien...).
Et si tu fait pas ce calcul, ben je voit pas ce qui te permet d'affirmer que B' a bien 2 valeurs propres. Bref, je comprend pas trop la logique de celui qui a pondu l'exo...

[mehdi-128]

J'écris le polynôme caractéristique de B maintenant en utilisant le déterminant par bloc :



Enfin :

Or :



Enfin :

Les multiplicités des valeurs propres 2 et 0 sont 1 donc d'après un théorème du cours :




Donc :

Pour la dimension du sous espace propre associé à la valeur prore 1 je me souviens plus comment faire ...

Comme les sous espaces propres sont en somme direct il suffit de dire :

?

[pascal16]

B+In, tu l'a pas déjà faite dans un autre post ?