Matrcies : Expliquez moi la réponse svp ...

[DiaNee]

Bonsoir à tous; il n'y a pas très longtemps, j'ai posté ce même sujet sur ce forum et sur un autre forum... si l'autre en question, quelqu'un m'a donné la réponse mais j'avoue que je ne sais pas trop comment il a fait... si quequ'un pouvait m'expliquer??

Voici le sujet :
Soient (Xn) (Yn) et (Zn) les suites définies par:
Xo=1, Yo=1 et Zo=2 et pour tout entier naturel n :

3Xn+1 = 4Xn+2Yn+Zn
3Yn+1 = -Xn+Yn-Zn
3Zn+1 = -2Xn-2Yn+Zn

Pour tout entier naturel n, on pose Cn la matrice colonne [Xn Yn Zn]

Dans les questions précédentes, on a montré que pour tout n dans N, Cn+1 = BCn
je trouve B = la matrice:
4/3 2/3 1/3
-1/3 1/3 -1/3
-2/3 -2/3 1/3
et que pour tout n dans N, Cn = B^nCo

Maintenant voici la question avec laquelle j'ai du mal : "déterminé des expressions de Xn, Yn et Zn en fonction de n"
je pense qu'il faut tout d'abord trouvé une conjecture de B, mais je n'y arrive pas...


et maintenant la réponse concernant la conjecture de B:

Les valeurs propres de ta matrice B sont simples et sont : 1 ; 2/3 ; 1/3

En notant :
La matrice P =
-1 -1 -1
0 1 1
1 0 1

et P^-1=
-1 -1 0
-1 0 -1
1 1 1

et D=
1 0 0
0 2/3 0
0 0 1/3

D = P-1.B.P
soit :
B = P.D.P-1
Ainsi B^n = P.D^n.P-1



en fait, j'ai compris son raisonnement mais je ne sais pas comment il a trouvé la matrice P et la matrice D ??? :mur:

[DiaNee]

S'il vous plait... si quelqu'un a juste une idée

[calius]

pour la matrice D j'ai compris : c'est le chapitre ' reduction des endomorphisme' que tu doit reviser
pour la matrice P ? rien compri moi aussi
:triste:

[DiaNee]

merci...
personne pour la matrice P ??

[bauzau]

salut,

tu as du voir comment diagonaliser une matrice:

a partir d'une matrice B inversible, (c'est à dire de determinant non nul), tu trouve sa matrice D diagonalement équivalente , ainsi que la matrice P de passage: ainsi tu as B=P*D*(P^-1)

(où * est la multiplication de matrice)

regarde dans tes cours (je ne me souviens plus mais normalement ce n'est pas très difficile)

[bauzau]

a oui, il y a les valeurs propres:

tu as du voir qu'une matrice B peut etre diagonalisable:

c'est à dire qu'elle peut etre egale à P*D*(P^-1)

où P est une matrice de passage (inversible donc), et D est une matrice diagonale, c'est a dire qu'elle est de la forme:
a 0 0
D= 0 b 0
0 0 c

où a, b et c sont les valeurs propres de la matrice B

[DiaNee]

ben justement je n'est jamais vu ce qu'est une diagonalisation de matrice... :hum:

[DiaNee]

c'est quoi des valeurs propres?

[Joker62]

a valeur propre d'un endormorphisme u si et seulement si il existe un vecteur x non nul tq u(x) = ax
Mais bon c'est pas avec ça que tu vas réussir à comprendre la diagonalisation