Dm de maths

[MagicFalco]

Voilà j'ai un exercice sur les suites auquel je ne comprends rien
Voici l'énoncé!
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose:
Sn = 1+2*2+3*2²+......+ (n-1)2^n-2
Démontrez que pour tout entier n> ou égal à 2
Sn = (n-1)2^n - n2^n-1 +1

aidez moi je vous en prie!!!!!!!!! c urgent

[Chimerade]

Voilà j'ai un exercice sur les suites auquel je ne comprends rien
Voici l'énoncé!
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose:
Sn = 1+2*2+3*2²+......+ (n-1)2^n-2
Démontrez que pour tout entier n> ou égal à 2
Sn = (n-1)2^n - n2^n-1 +1

aidez moi je vous en prie!!!!!!!!! c urgent

Ca devrait se faire par récurrence ça, non ?

[MagicFalco]

oui c'est àa mais je n'arrive pas appliquer la récurrence pour cette suite

[Chimerade]

oui c'est àa mais je n'arrive pas appliquer la récurrence pour cette suite

Voyons, on constate d'abord que c'est vrai pour n=2

Ensuite, supposons que ceci est vrai pour n
Et démontrons qu'alors, cela est aussi vrai pour n+1



On suppose donc que :



Calculons alors :
















CQFD

Il n'y a aucune difficulté, aucun piège. Il n'y a qu'à l'écrire et ça se simplifie tout seul ! Je ne vois pas du tout où est ton problème ! C'est juste un petit calcul tout bête ! Nous sommes bien dans la zone "supérieur" non ?

[MagicFalco]

désolé mais je ne vois pas comment tu es passé de

[MagicFalco]

faute de frappe désolé
comment tu es passé de:
Sn+1 = (n-1)2^n + (n-1)2^n - (n-1)2^n + 1 à
Sn+1 = (n-1) 2^n+1 - (n-1) 2^n +1

pourrais- tu expliquer stp?

[julian]

C'est pas çà??? :hein:

[MagicFalco]

merci julian je ne me souvenais pas que x^n * x^n = x*n+1
mais y'a un autre endroit uù je bloque dans l'avant dernière ligne
pourquoi n^2n+1 devient 2*2^n

désolé de vous agacer mais les suites c'est pas du tout mon fort

[julian]

Attends j'ai réédité!!!
La fatigue m'emporte,dsl...
...

[MagicFalco]

donc comment a t il fait?
en fait on a (n-1) 2^n + (n-1)2^n et non fois

[julian]

Attends il est passé de à
, et çà en utilisant .
Mais je crosi que ce type de raisonnement ne devrait pas avoir lieu dans le topic supérieur...

[MagicFalco]

ok mais (n-1)2^n + (n-1)2^n = (n-1)4^n et non (n-1)2^n+1

[Nicolas_75]

Ben non...
(n-1)2^n + (n-1)2^n = 2(n-1)2^n = (n-1)2^{n+1}

[MagicFalco]

cela me parait louche
2(n-1)2^n = (n-1)2^n+1??

[julian]

Qu'est ce qui parait louche?!
,c'est pas plus compliqué que çà!:++:
Tu sais tout de même que abc=acb=bac?

[Chimerade]

cela me parait louche
2(n-1)2^n = (n-1)2^n+1??

Si tu ne me crois pas, reviens à la définition des puissances !

2 * (n-1) * (2*2*2....*2) (avec n fois 2 dans la parenthèse)

= (n-1) * (2*2*2......*2*2) (avec n+1 fois 2 dans la parenthèse)

???? !!!!! :marteau:

[MagicFalco]

de plus , je ne vois pas ce que noyus pouvons déduire de:
Sn+1 = n2^n+1 - (n+1)2^n +1
vu que Sn = (n-1)2^n - n2^n-1 + 1

[Chimerade]

de plus , je ne vois pas ce que noyus pouvons déduire de:
Sn+1 = n2^n+1 - (n+1)2^n +1
vu que Sn = (n-1)2^n - n2^n-1 + 1

Si tu poses m=n+1


s'écrit :



c'est-à-dire exactement la même chose que :



C'est le principe de la récurrence. En te fondant sur le fait que la formule est vraie pour une certaine valeur n, tu démontres qu'alors elle sera vraie pour la valeur suivante m=n+1.

Comme elle est vraie pour n=2, alors, elle est vraie pour n=3
Comme elle est vraie pour n=3, alors, elle est vraie pour n=4
Comme elle est vraie pour n=4, alors, elle est vraie pour n=5
Comme elle est vraie pour n=5, alors, elle est vraie pour n=6
Comme elle est vraie pour n=6, alors, elle est vraie pour n=7
...
Comme elle est vraie pour n=1 000 000 000, alors, elle est vraie pour n=1 000 000 001
et ainsi de suite !