Maths / Proba / inférence

[Pop80]

Bonjour à tous. J'ai plusieurs exercices à faire mais je bloque sur 2 en particulier. J'ai tenté mais en vain. Donc je demande votre soutien. Il faut, je pense, utiliser les tables de loi ainsi que le TCL. J'en suis pas certain.
Merci de détailler les calculs afin que je comprenne.

Exercice 1.
Pour une certaine race de vaches laitières, la production de lait par vache et par jour est une variable aléatoire d'espérance 19.5 et d'écart-type 2 litres. Une ferme possède 40 vaches de cette race. On admet que ces 40 vaches constituent échantillon aléatoire simple.
1) Quelle est la probabilité que la production moyenne de lait de ces 40 vaches soit supérieure à 20 litres ?
2) Déterminer un intervalle centré en 19.5 contenant la production moyenne des 40 vaches avec une probabilité de 90%.

Une deuxième ferme possède 20 vaches de la race précédente (race A) et 20 vache d'une autre race (race B) pour laquelle la production de lait par jour et par vache a une espérance de 18.5 litres et un écart-type de 2.5 litres. On suppose que les productions de lait suivent des lois normales. On considère la production moyenne des 20 vaches de la race A et la production moyenne des 20 vaches de la race B.

3) Comment s'exprime la production de lait des 40 vaches ? Quelle est la probabilité que la production moyenne des 40 vaches soit supérieur à 20 litres ?
4) Quelle est la probabilité que la production moyenne des 20 vaches de la race A soit inférieur à la production moyenne des 20 vaches de la race B ?

Exercice 2.
Soient T1 et T2 deux estimateurs sans biais, indépendants, d'un paramètre ;), de variances respectives ;)1² et ;)2².
1) Montrer que T = ;) T1 + ( 1 - ;) ) T2 est aussi un estimateur sans biais de ;) pour tout ;) réel quelconque.
2) Pour quelle valeur de ;) la variance de T est-elle minimale ?