DM maths (un peu difficile!)

[Youyou30]

Salut,
J'aurai besoin d'un coup de main pour mon DM
merciiii c'est gentil !! :lol3:

1/Montrer que l'application f de R dans lui-même qui à tout réel positif associe f(x)=ln(x^2+1) est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque

2/ Soit f une application continue de [0,1] dans [0,1]. Montrer que l'équation f(x)=x a au moins une solution

A bientôt !! :lol3:

[XENSECP]

Même remarque que dans l'autre. Bijection = strictement monotone de R dans R.

La fonction réciproque est un peu plus compliquée à trouver par contre...

La 2) c'est du cours normalement ;)

[hello2]

pour la 2)
Pose g(x)=f(x)-x

et applique le théorème des valeurs intermédiaires!

[Nightmare]

Même remarque que dans l'autre. Bijection = strictement monotone de R dans R.

Attention, on peut trouver des applications strictement monotones de R dans R et qui ne sont pas des bijections. Par contre, avec une hypothèse de continuité là c'est vrai.

:happy3:

[euler21]

Existe-t-il des applications strictement monotones qui ne sont pas continues sur R ??

[Vahngal]

x--> [E(x)]*x sur [1,+infini[

edit : réponse à une demande effacée : existe-il une application strictement monotone non continue ?

[Nightmare]

La question (effacée) me parait assez étrange, et sa réponse aussi... A croire qu'il faille chercher "loin" (relativement) pour obtenir un contre exemple, alors qu'a priori, stricte monotonie et continuité n'ont pas franchement de rapport.

On trace un trait continu strictement croissant sur [0,1], en 1 on fait un saut de quelques ordonnées et on reprend la courbe avec un trait strictement croissant. Il est évident qu'on obtient une fonction strictement monotone et discontinue par construction. La stricte monotonie veut que les images soient de plus en plus grande, rien n'empêche à la courbe de faire des sauts, pourvu qu'ils soient vers le haut bien évidemment :lol3:

[Nightmare]

alors qu'a priori, stricte monotonie et continuité n'ont pas franchement de rapport.

Même si, a posteriori, une fonction strictement monotone est continue sauf sur un ensemble dénombrable de point (mieux, elle est dérivable presque partout...)