Maths appliquées : variables dépendantes

[Econle]

Bonjour,
Je suis actuellement en L1 de Maths et, il y a quelques jours, j'ai regardé la feuille d'un ami en éco-gestion.
C'est un problème de maximisation d'une fonction d'"utilité" u d'un individu.

Soit D les dépenses de consommation et L les loisirs.

u=D^0,5 + 4*L^0,5

L'énoncé donne également que le salaire horaire est de s=4 et donc que D=(24-L)*4 (le temps de travail étant 24-L).

Alors moi, je le fais, en me disant que c'était vraiment simple.

u=(96-4L)^0,5 + 4*L^0,5

Moi, j'étais parti pour dériver en fonction de L, etc.

Mais la correction du prof est tout autre :
il garde u=D^0,5 + 4*L^0,5

il dérive en fonction de D et en fonction de L et fait le quotient des deux. Mais là où j'ai vraiment un problème, c'est que pour lui la dérivée de u en fonction de L est : u'L=2*L^(-0.5).
Or ma dérivée était : u'L= -2(96-4L)^(-0,5) + 2*L^(-0,5)
J'ai donc un terme en plus, je ne comprends pas. Il a fixé la variable D, alors qu'elle dépend de L et donc ne peut pas être fixée si L n'est pas fixée, non ? On ne peut pas simplement faire comme si une transformation affine d'une variable était indépendante de la première variable !

[Ben314]

Salut,
En fait, il n'a pas du tout procédé comme toi et il a utilisé un résultat plus théorique concernant les fonctions de deux variables qui dit que :
Le maximum d'une fonction de deux variables sous la "contrainte" est (lorsqu'on est dans de "bonnes hypothèses"...) situé en un point en lequel le "gradient" de f, c'est à dire le couple est colinéaire au gradient de g, c'est à dire au couple .

(Je ne suis pas sûr qu'a leur niveau le résultat soit présenté sous cette forme là (déjà elle même simplifié) ni qu'il soit proprement démontré.)
Concernant le calcul du prof., il a donc considéré la "fonction d'utilité" u(D,L)=D^0,5 + 4*L^0,5 comme une fonction de deux variables qu'il a dérivé par rapport à D puis par rapport à L en ne tenant pas compte (pour le moment) de la contrainte D/4+L=24.

Sinon, ta démarche est parfaitement correcte, mais ne peut être utilisé que dans le cas où on arrive a écrire la "contrainte" g(x,y)=Cst sous la forme y=fonction(x) [ou bien x=fonction(y)] pour pouvoir remplacer le x [ou le y] de f(x,y) par la fonction en question et ainsi avoir a maximiser une fonction qui ne dépend plus que d'une seule variable. Et visiblement, en éco-gestion, ils doivent avoir des cas où la fonction de contrainte g(x,y)=Cst ne peut pas facilement s'écrire y=fonction(x).

Au final, si aucun des eux ne s'est gouré, vous devez (heureusement) trouver le même résultat.

[Econle]

Je te remercie pour cette réponse rapide et claire. Je n'ai pas d'autre question !