Mathématiques qualitatives / Attracteurs étranges / Suites

[Khwartz]

Bonjour,

:we: D'abord merci encore à "Dieudonné", "quinto" et "cesar", d'avoir fait preuve de beaucoup de compréhension pour me répondre au mois de juillet, sur les liens éventuels entre ALGEBRE et ESPACES FRACTALS.

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Toujours un peu en lien avec les espaces fractals, je me penche sur un texte de "mathématiques qualitatives" où il est question "d'attracteurs étranges".

Le sujet est abordé par un exemple à propos d'évolution de populations, comme celles, en biologie, de bactéries en cultures.

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A toutes fin utiles, je rappelle que je suis en classe de 3ème, que j'ai d'assez bonnes notions jusqu'au niveau de la première, et que ma "culture mathématique" s'étant malgré tout jusqu'à l'algèbre général et la thérorie des ensemble, que j'ai des notions de logiques formelles, de philosophie et d'histoire des sciences, et en particulier des mathématiques.

Cela dit, même si ces sujets de "mise en perspective" de ma pratique des mathématiques vont plus ou moins "loin" , je n'oublie pas mon travail scolaire présent - moyenne de mes 15 derniers devoirs : 19,47/20 - (je précise tout ceci parce que sur un autre forum on m'a fait comprendre de m'occuper - en quelque sorte -que "de ce qui me regardait", à savoir le programme, je veux dire le gavage que j'étais sensé avaler sans broncher avec interdiction de voir plus loin... :-: ).

Ainsi comprendrez-vous peut-être pourquoi je vais vous poser une question certainement élémentaire sur les suites, alors que : d'une part je suis dans un forum de supérieur, et d'autre part que mon niveau est bien inférieur à cela.

Dieudonné, césar et quinto ont su faire preuve d'une extrême compréhension en ma faveur au mois de juillet et je leur en suis très reconnaissant, car il m'ont permis d'élargir encore un peu plus mon horizon et d'encore agrandir mon intérêt pour les mathématiques.

Voilà, tout ceci étant précisé, voici ma question :

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Quel raisonnement mathématique permet d'obtenir l'implication suivante :


ET(r>0 ; r = a - bxn ; a>0 ; b>0 ; 0 [0 <ou= x <ou= 4] ?

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Beaucoup de blabla pour une "simple" question, non ?

[cesar]

c'est la fonction qui a permit à fengenbaum de determiner sa constante !!!.
tres importante au niveau du chaos : elle donne les bifurcations..

pour ta fonction :
y=r*x*(1-x) est une parabole, elle coupe l'axe des x en 0 et 1 et son sommet est en x=1/2. donc y= r/4. si tu prends xn compris entre 0 et 1, alors xn+1 sera automatiquement compris entre 0 et r/4.
dans ton equation : r= a - b*x ta relation est valable pour une x fixé tel que r = 4

[Khwartz]

Merci césar, heureux de bénéficier de ton aide à nouveau

Pour la parabole, je trouve :

y = r * x * ( 1 - x ) = r ( xn - xn² ) => xn-xn²=y/r
A un changement de repère près, on aurait : y'=xn-xn² ; avec y=ry' ; c'est ça ?

D'autre part :

[ y' = 0 ET Y' = xn - xn² ] => [ xn * ( 1 -xn ) = 0 ] => [ xn =0 ou xn = 1 ] ; est-ce toujours ça ?

Or, y = r y' , donc y indice 0 = r * 0 = 0 , et y indice 1 = r * 1 = r .

Question : est-ce que "sommet" d'une parabole est toujours l'ordonnée de l'abscise milieu du segment des deux "zéros" de l'équation, des deux intersections avec l'axe des abscisses ? Si "oui", comment le démontre-t-on ?

Si c'est donc bien le cas :

( 0 + 1 ) / 2 = 1/2 => y' sommet = 1/2 - ( 1/2)² = 1/4 => y = r/4 ?

C'est peut-être idiot et évident, mais de là, je n'arrive pas à voir comment on en conclu :

"dans ton equation : r= a - b*x ta relation est valable pour une x fixé tel que r = 4" .

Tout ce que je trouve c'est :

y = r/4 ET r = a - b * xn => xn = - 1/b ( y - a ) ;

mais ça ne semble mener nul part ! Peux-tu m'éclaircir ce point S.T.P. ?

[Galt]

Le sommet d'une parabole est bien le point de cette parabole d'abscisse milieu des deux solutions de l'équation. On le démontre en écrivant . On sait que le carré est minimum quand il est nul, donc quand , ce qui est bien au milieu des deux solutions de l'équation.
Dans la parabole , le sommet est le point le plus haut (puisque ici a = -1 est négatif), son abscisse est et son ordonnée est . Si x est entre 0 et 1, on a donc bien compris entre 0 et

[Khwartz]

Merci beaucoup Galt, ton explication est lympide ; y'a juste un truc que je ne comprends pas complètement :

Soit y = r x ( 1 - x ) et y' = x ( 1 - x ), on a y' = (-1) x² + (1) x + (0), donc a = -1 ; b = 1 et c = 0 ; c'est ça ?

Dans ce cas, si y' = ax² + bx + c = aX² + ( b² - 4ac ) / 4a , nous devrions avoir pour x = 1/2 , y' = 0 + [ (1)² - 4 (-1) (0) ] / 4 (-1) , c'est bien ça ?
Donc y' = ( 1 - 0 ) / ( -4 ) , c'est toujours ça ?

Dans ce cas, y' 0, ce qui est le cas par hypothèse. Donc, comment y de x = 1/2 serait le "sommet" de la parabole puisque y de x = 1/2 serait négatif alors qu'il existe deux racines distinctes pour l'équation ?

Y a-t-il une erreur de signe quelque part ou c'est moi qui comprends de travers ? A moins peut-être qu'un "sommet" ne soit pas nécessairement "le point le plus haut", mais le point de la courbe de dérivée nulle, ce qui pourrait correspondre à un minimum lorsque a 0 ?

PS : Tu peux m'expliquer S.T.P. comment t'arrives à utiliser les signes mathématiques standards en postant ?

[cesar]

Merci césar, heureux de bénéficier de ton aide à nouveau

Pour la parabole, je trouve :

y = r * x * ( 1 - x ) = r ( xn - xn² ) => xn-xn²=y/r
A un changement de repère près, on aurait : y'=xn-xn² ; avec y=ry' ; c'est ça ?
. ?

on peut, dans certains cas, faire beaucoup mieux : on peut "lineariser" l'équation !!! mais il faut savoir faire des integrales..
exemple :
si r=4, l'équation devient : y=4*x(1-x), le sommet est x=1/2 et y=1
par un changement de variable adéquat, la suite x n+1 = 4*(x n)*(1-x n) devient :
u n+1 = 2*(u n) pour un1/2 et u n <=1.

ce qui permet de calculer directement u n connaissant U 0, donc x n connaissant x0. et des tas d'autres choses (par exemple, tous les x0 qui enregendre un cycle...)

[Khwartz]

on peut, dans certains cas, faire beaucoup mieux : on peut "lineariser" l'équation !!! mais il faut savoir faire des integrales..
exemple :
si r=4, l'équation devient : y=4*x(1-x), le sommet est x=1/2 et y=1
par un changement de variable adéquat, la suite x n+1 = 4*(x n)*(1-x n)

Merci pour l'indication sur la "linéarisation"

Pourrais-tu m'en expliquer l'intérêt ? A quoi est-ce utile ?

Et avant d'aller plus loin : veux-tu dire que un = 1 - xn pour xn = 1/2 ?

[cesar]

tu embrouilles tout : le probleme du chaos, c'est le caractere non lineaire des équations. C'est lui qui met le bazar et souvent, qui empeche de resoudre directement les equations. le changement de variable consiste à trouver une fonction g, telle que g(u n ) =x n et

g(u n+1) = 4g(u n)*(1-g(u n)) soit u n+1 = inverse de g(4*g(u n)*(1-g(u n)) )

je ne t'ai pas donné g (qui n'a rien de commode à trouver), mais cela donne l'équation lineraire que je t'ai indiqué.

ça ne marche pas à tous les coup, mais quand cela marche, c'est le pied !!! :briques:

dans le cas qui nous occupe, linéariser permet de calculer X n sans calculer les x intermédiaires. si on te demandait de calculer n = 1000 000 000 000 à partir de x0 (irrationnel ) , sauf cas particulier, aucun ordinateur ne pourrait le faire et ce n'est pas une question rapidité. Le calcul de l'ordinateur comporte une legere erreur à chaque iteration et cette erreur ira en grandissant, au point de rendre le resultat completement faux (cela s'appelle la SCI (Sensiblité aux Conditions Initiales). Avec la linearisation, tu peux calculer directement, à partir de x0 le x n pour n = 1000 000 000 000. et sans calculer x1, x2, x3, x4, etc...

de memoire : xn=[sin(pi/4*(un -1)) +1/2]*1/racinecarré (2)
sans garantie sur cette fonction, je ne suis plus tres certain de sa forme, il faudrait que je jette un coup d'oeil à mes notes...

[Khwartz]

tu embrouilles tout

Excuse-moi, je ne comprends pas pourquoi "j'embrouille tout" : est-ce parce que je pose une question délicate ? Est-ce parce que je me suis compliqué la vie dans un raisonnement ?

: le probleme du chaos, c'est le caractere non lineaire des équations. C'est lui qui met le bazar et souvent, qui empeche de resoudre directement les equations.

N'est-ce pas essentiellement parce xn+1dépend de xn? Donc justement très difficile à prévoir à partir de x0, sauf dans certain où est donc possible de "linéariser" ?

le changement de variable consiste à trouver une fonction g, telle que g(u n ) =x n et

g(u n+1) = 4g(u n)*(1-g(u n)) soit u n+1 = inverse de g(4*g(u n)*(1-g(u n)) )

je ne t'ai pas donné g (qui n'a rien de commode à trouver), mais cela donne l'équation lineraire que je t'ai indiqué.

ça ne marche pas à tous les coup, mais quand cela marche, c'est le pied !!! :briques:

D'accord. (+ les "briques" veulent dire quoi ? Y a-t-il ici un motif d'être déçu ? C'est le fait que ça ne marche pas à tous les coups ?)

dans le cas qui nous occupe, linéariser permet de calculer X n sans calculer les x intermédiaires. si on te demandait de calculer n = 1000 000 000 000 à partir de x0 (irrationnel ) , sauf cas particulier, aucun ordinateur ne pourrait le faire et ce n'est pas une question rapidité. Le calcul de l'ordinateur comporte une legere erreur à chaque iteration et cette erreur ira en grandissant, au point de rendre le resultat completement faux (cela s'appelle la SCI (Sensiblité aux Conditions Initiales). Avec la linearisation, tu peux calculer directement, à partir de x0 le x n pour n = 1000 000 000 000. et sans calculer x1, x2, x3, x4, etc...

Il me semble voir grâce à toi tout l'intérêt de pouvoir linéariser lorsque c'est possible, surtout dans la prédiction d'un résultat à partir de certaines conditions initiales. Tout le problème n'est-il pas justement d'arriver à faire de la prédiction alors que nous pourrions avoir affaire à des phénomèmes apparemment "cahotiques" ?

de memoire : xn=[sin(pi/4*(un -1)) +1/2]*1/racinecarré (2)
sans garantie sur cette fonction, je ne suis plus tres certain de sa forme, il faudrait que je jette un coup d'oeil à mes notes...

OK, mais j'en étais moi encore à être sûr que je comprenais bien ton précédent poste ; peux-tu me confirmer que dans ton poste de 13h38 : un = 1 - xn pour xn = 1/2 ?
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Suite au poste de Galt, je me demandais s'il y avait pas une erreur quelque part, soit dans ma compréhension, soit dans son post, pourrais-tu jeter un oeil sur son post d'hier à 8h17, et à la question que je lui posais ?

[Khwartz]

je ne t'ai pas donné g (qui n'a rien de commode à trouver), mais cela donne l'équation lineraire que je t'ai indiqué.

de memoire : xn=[sin(pi/4*(un -1)) +1/2]*1/racinecarré (2)
sans garantie sur cette fonction, je ne suis plus tres certain de sa forme, il faudrait que je jette un coup d'oeil à mes notes...

"Question subsidiaire" pour cesar : J'ai une calculatrice TI 89. Avec elle je peux faire des regressions par exemple, est-ce que je peux lui faire trouver ces fameuses "linéarisations" lorsqu'elles existent ? Y a-t-il des logiciels de maths, des "calculatrices virtuelles" qui permettraient de faire ce travail ? Pourrait-on utiliser un tableur comme Excel par exemple ? à ton avis...

[Galt]

Merci beaucoup Galt, ton explication est lympide ; y'a juste un truc que je ne comprends pas complètement :

Soit y = r x ( 1 - x ) et y' = x ( 1 - x ), on a y' = (-1) x² + (1) x + (0), donc a = -1 ; b = 1 et c = 0 ; c'est ça ?

Dans ce cas, si y' = ax² + bx + c = aX² + ( b² - 4ac ) / 4a , nous devrions avoir pour x = 1/2 , y' = 0 + [ (1)² - 4 (-1) (0) ] / 4 (-1) , c'est bien ça ?
Donc y' = ( 1 - 0 ) / ( -4 ) , c'est toujours ça ?

Dans ce cas, y' 0, ce qui est le cas par hypothèse. Donc, comment y de x = 1/2 serait le "sommet" de la parabole puisque y de x = 1/2 serait négatif alors qu'il existe deux racines distinctes pour l'équation ?

Y a-t-il une erreur de signe quelque part ou c'est moi qui comprends de travers ? A moins peut-être qu'un "sommet" ne soit pas nécessairement "le point le plus haut", mais le point de la courbe de dérivée nulle, ce qui pourrait correspondre à un minimum lorsque a 0 ?

PS : Tu peux m'expliquer S.T.P. comment t'arrives à utiliser les signes mathématiques standards en postant ?

Pour les signes mathématiques standart, on utilise les balises TEX et /TEX (entre crochets, mais si je mets les crochets, on ne les voit plus). La première commence la formule, le seconde la termine (il y a le symbole TEX dans la fenêtre, à droite au dessus de la saisie. TEX est un langage qui écrit des maths, mais qui n'est pas facile à employer, car on ne voit pas ce qu'on écrit. On peut trouver de l'aide sur divers sites, par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
Il faut utiliser la fonction "prévisualisation" pour contrôler ce qu'on fait, et corriger si besoin est.

Pour le problème de la parabole, il vaut mieux éviter la formule littérale, et refaire le calcul. Le principe est touojours le même, on écrit le début de l'identité remarquable . Pour , ça donne . Il me faut donc prendre pour que le donne bien . J'ai donc , et le maximum est bien de
A plus

[Anonyme]

pas facile de trouver les linearisations: le truc que j'utilise le plus, c'est les statistiques. Je calcule une serie (de milliers...) de xn et ensuite je les pose en histogramme sur un graphique. Par exemple : dans le cas qui nous occupe, on divise le segment [0,1], dans lequel se trouve les xn en une bonne centaine de sous segments, qui seront la "base" des barres de l'histogramme. Ensuite on calcule des milliers de xn en prenant un x0 au hasard dans ]0,1[. lorsque le xn est dans un sous segment donné, on met +1 dans l'effectif de la barre correspondante.
lorsqu'on trace (avec un ordinateur, pas à la main...), l'histogramme, il apparait une loi de repartition bien précise.
( la "densité" des xn des de la forme f(xn)= 1/pi *1/(racine carre(t(1-t))).)

ensuite (et c'est là qu'il faut connaitre les integrales), il faut faire le changement de variable sur les Xn en posant la nouvelle variable telle que :

u n = integrale de f(t) avec les bornes 0 et xn .

ce changement de variable est "classique" en stats, la variable u n à la particularité d'être uniformement repartie.

[cesar]

pas facile de trouver les linearisations: le truc que j'utilise le plus, c'est les statistiques. Je calcule une serie (de milliers...) de xn et ensuite je les pose en histogramme sur un graphique. Par exemple : dans le cas qui nous occupe, on divise le segment [0,1], dans lequel se trouve les xn en une bonne centaine de sous segments, qui seront la "base" des barres de l'histogramme. Ensuite on calcule des milliers de xn en prenant un x0 au hasard dans ]0,1[. lorsque le xn est dans un sous segment donné, on met +1 dans l'effectif de la barre correspondante.
lorsqu'on trace (avec un ordinateur, pas à la main...), l'histogramme, il apparait une loi de repartition bien précise.
( la "densité" des xn des de la forme f(xn)= 1/pi *1/(racine carre(t(1-t))).)

ensuite (et c'est là qu'il faut connaitre les integrales), il faut faire le changement de variable sur les Xn en posant la nouvelle variable telle que :

u n = integrale de f(t) avec les bornes 0 et xn .

ce changement de variable est "classique" en stats, la variable u n à la particularité d'être uniformement repartie.

excusez, j'ai oublié de signer...