Mathématiques : maximisation (en lien avec l'économie)

[Oxigion]

Bonjour, avant toutes choses je voulais vous remercier d'avance pour votre lecture.

Je suis un économiste avant tout, et pour moi jusqu'à présent l'utilsation des mathématiques s'est résumée à leurs applications à des problèmes économiques.
C'est la première fois que je raisonne sur des problèmes purement mathématiques et c'est pour cela que je me permet de vous solliciter votre aide.

Je contextualise le problème, nous posons au préalable plusieurs hypothèses mathématiques (dérivabilité, strictement croissante, strictement quasi concave, frontière) pour utiliser ses outils à des fins microéconomiques.

Je vous expose maintenant le problème :



pour le second programme la définition de x est la même que le premier programme (strictement positif sur R de dimension L)

p et W sont des paramètres, respectivement un vecteur de prix et un salaire donné.
x est un vecteur de bien, U(x) dépends de ce vecteur et est strictement croissante, quasi-concave définie sur un espace strictement positif.

Je cherche à prouver que le programme UMP est équivalent (il a la même solution) que le problème Pe. Que x* est solution du problème de maximisation UMP et également Pe.

En vous remerciant d'avance pour votre lecture.

[Cliffe]

très mal écrit, on comprend rien :doh:

Pour ma part la piste que j'envisage est que deux programmes sous une même contrainte et définit sur le même domaine ont la même solution. Mais pour l'écrire mathématiquement c'est une autre histoire...

faux.


Voilà l'écriture d'un problème d'optimisation si ça peut t'aider :

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[Oxigion]

Bonjour je suis navré pour l'écriture mais j'avais fais tout correctement sur World (avec les options d'équations) et en copier collé ici je comprends que c'est peu lisible. Aussi je vais l'uploader sur un site externe pour plus de visibilité.

C'est sympa pour l'écriture, mais je suis déjà très a l'aise avec les programmes de Maximisation et notamment leurs écritures

[Cliffe]

faut être très rigoureux en mathématiques, surtout lorsque l'on demande de l'aide.

Ici pour les formules : http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[Oxigion]

Voilà, je me suis permis de poser ma question sur papier (ce doit être nettement plus clair maintenant, encore désolé pour toute à l'heure).

En esperant avoir vos lumières.

[Cliffe]

- strictement positif se note avec une étoile :

- Dans le premier problème, représente la solution optimale. Donc : ne veut rien dire.

- D'après ce que tu écris, je suppose que est définie de dans (en remplaçant par ) mais tu parles de fonction croissante concaves etc, donc je comprend pas. Dans ce cas qu'est ce que la maximisation d'un vecteur ? (mettre une norme peut-être ?).

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- Ensuite on a vecteur ligne et vecteur colonne.

- Je ne comprend pas la définition de qui est définie par ... . Je pense qu'il faut écrire :
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[Oxigion]

je te remercie de ta réponse:
j'apporte quelques précisions (Pour ce qui est du strictement positif moi aussi j'avais l'habitude du R étoile mais ce professeur prends cette notation).

e est un point dans un ensemble définit par le vecteur U(e)

Pour ce qui est du MaxU(x)= x* effectivement c'est faux, x* est la solution je me suis trompé dans la notation.

Navré pour ces approximations.

Néanmoins je pense que tu as raison concernant la définition du vecteur e.
Cependant quelle piste prendre pour prouver que la solution de l'un est également la solution de l'autre ayant ces données ?

[Cliffe]

U(x) c'est un vecteur ?

[Oxigion]

U(x) c'est un vecteur ?

U(x) est une fonction d'utilité strictement croissante dépendante de x un vecteur de bien.

[Cliffe]

c'est U la fonction d'utilité mais U(x) ressemble à quoi ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_consommateur_%28micro%C3%A9conomie%29#Fonction_d.27utilit.C3.A9

je connais rien en microéconomie :lol3:




edit : si je comprend bien c'est un truc du genre la :

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avec la fonction d'utilité.

[Oxigion]

En fait l'économie s'inspire énormément de la topologie, c'est une courbe sur laquelle peu importe le point on a le même niveau d'utilité (je ne sais pas si les courbes de niveau te parle sur les repère en 3 dimensions), on fait plusieurs hypothèses dessus, 4 précisement, elle est strictement croissante, elle est strictement quasi concave, et dérivable et continue

[Oxigion]

Et non c'est pas tout à fait ça on a bien x=(x1,x2)

Seulement U(x) reflète les préférences du consommateur donc c'est par exemple

U(x)=U(x1,x2)= 2x1 x 3x2

[Cliffe]

d'accord c'est déjà plus logique, il fallait le définir dès le début.

Donc les problèmes sont :

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avec :

[Oxigion]

Je te remercie d'être arrivé à me traduire :)

Et maintenant

Je cherche à prouver que le programme UMP est équivalent (qu'il a la même solution) que le problème Pe. Que x* est solution du problème de maximisation UMP et également Pe.

J'ai cherché un théorème mais je n'ai rien trouvé permettant de m'aider sur cette preuve.

[Cliffe]

Qu'est-ce qui te fait dire que la solution est la même ?

[Oxigion]

Qu'est-ce qui te fait dire que la solution est la même ?

l’énoncé de l'exercice...

[Cliffe]

l’énoncé de l'exercice...

bah voila, problème résolu alors :ptdr:

plus sérieusement, on peut avoir un scan de l'énoncer ?

[Oxigion]

L'énoncé est mot pour mot le suivant:
Montrer que UMP a la même solution que Pe. Que x* résout le problème UMP et également le problème Pe.

[fatal_error]

salut,

1) ca veut dire quoi que U(x) est croissante.
Comment tu définis x1 < x2 quand tu les donnes à U(x1)
2) c'est quoi e?
parce que genre, ca se fait pe>W, et donc on peut pas poser x==e si jamais U(e)>U(x)

3) p c'est que des paramètres positifs?

[Oxigion]

salut,

1) ca veut dire quoi que U(x) est croissante.
Comment tu définis x1 W, et donc on peut pas poser x==e si jamais U(e)>U(x)


3) p c'est que des paramètres positifs?

p est un vecteur de prix et on fait l'hypothèse (très forte) au départ, que c'est strictement positif.


Tu as raison je vais plus détaillé les hypothèses de départ de U(x)
4 Hypothèses :
_elle est dérivable d'ordre 2 (U est une fonction C²).
_U est ses dérivés sont strictements croissantes.
La matrice Hessiene Du(x) >> 0, toutes les derivées partielles sont strictement positives
3) U est strictement quasi concave
et enfin 4) U a une frontière définie