DM de math

[ti21]

bonjour alors voila
on ma poser comme question de montrer que f(x)= tanx +1/2(tanx)² est une bijection de l'intarvalle I2 = ]arctan(1) , pi/2 [ sur un intervalle image J2 = f(I2) que l'on précisera. mais je ne comprend pas du tout la question est ce que je doit d'abord prouver que f est bijective sur I2 puis apres trouver un deuxième intervalle J2 ??? je ne sais pas du tout comment mit prendre

[aviateur]

Bonjour
f est définie et continue sur I_2. Soit J_2=f(I_2). Par définition de J_2, f est surjective de I_2 vers J_2.
Reste à vérifier qu'elle est injective.

[pascal16]

par exemple sin(x) n'est pas bijective de [-pi/2;pi/2] surR
mais sin(x) est bijective de [-pi/2;pi/2] sur [-1;1]
en fait [-1;1]= f( [-pi/2;pi/2]) avec f(x)=sin(x).

soit une fonction f définie dur D
f(D) est l'ensemble des images prises par f(x) pour x€D
une fonction f définie sur D est toujours surjective de D vers f(D)
la bijectivité découle alors de l'injectivité.

On te demande de trouver f(D) et prouver l'injectivité en fait

[aviateur]

Rebonjour
En complément des réponses (de toute façon tu sera amener à le faire),
Tu étudies les variations de f sur I_2 (d'après la question elle est surement monotone)
et tu fais un petit schéma de la situation pour y voir plus clair.

[ti21]

je crois avoir compris , jai donc dit que f est une fonction continue est strictement croissante sur I2 et que J2 étant l'image de I2 par f alors on peut dire que f(x) est bijective de I2 sur J2 ( je me suis servit d'un théorème vue en cours pour démontrer ça ) est ce que c'est ça ?
mais maintenant faut calculer l’intervalle J2 , je sais pas comment faire

[pascal16]

oui, la stricte croissance et la continuité assurent l'unicité de l'antécédent (et il existe ici).

[ti21]

pour l'intervalle J2 jai trouver [1.5 ; + l'infini [ est ce que c'est bon ?

[pascal16]

à un sens de crochet près, oui

[ti21]

oups ]1.5 ; + l'infini [ merciii

[ti21]

bonsoir j'ai une deuxième question
lorsque l'on me demande de montrer que f : I2 -> J2 admet une fonction réciproque g : J2 -> I2 qui est derivable sur J2 (on ne cherchera pas a donner une expression de g).
I2 etant ]-pi/4; pi/2[ et J2 = ]-0.5 ; +l'inf [

est ce que c'est bon si je dit uniquement que selon un théorème vue en cour je sais que si f est une bijection d'un intervalle I sur un intervalle J et que la deriver de f est en tout point de I strictement positive alors sa réciproque f-1 est dérivable sur J , et que pour tout y appartenant en J , (f-1)'(y) = 1/f'(f-1(y)) ??? si je m’arrête la comme on ne me demande pas de donner une expression de g est ce que c'est bon ???? ou il faut comme même que je calcul la deriver ?? parce que dans ce cas j'ai un peut de mal

merci pour l'aide

[pascal16]

si la question est posée comme ça, c'est sans doute que la primitive de la dérivée de la fonction réciproque n'est pas simple à trouver ou n'est pas exprimable par des fonctions classiques.

pour donner sa dérivée, il faut connaitre f^-1(y), ce qui n'est pas gagné
tu peux essayer de l'écrire, mais je pense que tu vas te trouver face à un mur