DL Math MPSI

[pianozik]

s'il vous plait les amis, je séche sur un DL de maths je vais écrire l'énoncé du problème si quelqu'un a une idée pour les démonstrations ça sera gentil.
Problème 1:
Un ensemble ordonné est di bien ordonné si toute partie non vide de E admet un plus petit élément (comme dans , mais dans tout élément admet un prédécesseur, ce qu'on ne suppose pas ici).
Soit un ensemble ordonné. On utilise la notation < pour et < pour l'ordre strict associé. Si est un élément de E on pose ={ de , y < }. On dit qu'une partie P de E est un segment initial si :
quelque soit de , quelque soit de , < implique de .
Dans la suite on suppose bien ordonné.
1. Montrer que est un ordre total, et que la restriction de à toute partie de E est un ordre total.

2. Montrer que les segments initiaux sont les où x de , dits segments initiaux stricts (car n'est pas de ), et E.

3. Montrer que si et sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une bijection croissante entre et (on justifiera que la réciproque est aussi croissante), alors x=y, et la bijection est l'identité.

4. Soit et bien ordonnés.
a- On dit que la relation [font=Verdana]entre x dans[/font] E et x' dans E' par ;)[font=Verdana]x' si et seulement si est isomorphe à muni de la restriction de R'[/font]
Montrer que est une relation fonctionnelle ainsi que sa réciproque (entre E' et E)

b- Montrer que le domaine de est un segment initial S de (E,R) et de que de même le domaine de la relation réciproque est un segment initial S' de (E',R').

c- Montrer que est un isomorphisme entre les ensembles ordonnés S et S'

d- En déduire que ou bien S=E ou bien S'=E', donc que si (E,R) et (E',R') sont bien ordonnés, ou bien il existe une injection croissante de E dans E', ou bien il existe une injection croissante de E' dans E.

Merci pour votre aide

[pianozik]

personne n'a une idée ? surtt pour la deuxième question, j'ai fait la première c'est par absurde
merci en tt cas

[tize]

Bonsoir Pianozik,

J'aimerai bien savoir comment tu as fait la premiere...par l'absurde ??

Si et sont dans alors puisque qui est de "bon ordre" admet un plus petit élément donc soit (xRy) soit (yRx) et ceci pour tout . L'ordre est donc bien total (et pareil pour toute partie de E)...non ?

Pour la 2), on a déjà pour tout , est un segement initial par définition... reste à montrer qu'un segment initial est de la forme pour un

[tize]

Pour la suite, il est evident que si P est un segment initial alors pour tout x dans P, mais je ne vois pas comment conclure avec ces seuls données, cela ne suffit pas à dire qu'il existe y tq ...à moins que l'on ai le droit d'utiliser le lemme de Zorn mais même comme ça ...

[pianozik]

pour la première je préfère comme ça, on considère un ensemble A={x,y tel que x n'est pas en relation avec y et y n'est pas en relation avec x}
On suppose qu'il est non vide, donc, comme A est une partie de E qui est bien ordonné alors il admet un plus petit élément qu'on note p
quelque soit x de A, p est en relation avec x d'où p n'est pas de A absurde !
pour la deuxième Sx est inclu dans P ça c'est clair mais ce qui reste c'est l'autre sens, parce que tu peux remarque que Sx (je crois) que c'est une partition

[pianozik]

quel lemme de zorm ? je le connais pas

[Yipee]

Je pense que pour la 2 le plus simple est la chose suivante. On considère un segment initial P. On regarde alors le complémentaire . Comme l'ensemble est bien ordonné, Q admet un plus petit élément que nous noterons x. Il ne reste plus qu'a montrer que ce qui n'est pas très dur.