Math fi: calcul d'un taux à partir des annuités

[Nicolas2012]

Bonjour,

Question: quel est le taux qui permet en 30 annuités de 15000 euros de posséder en fin de 30ème année 600000 euros?

On nous dit, en fin donc il faut ajouter (1+t) à la formule car intérêts sur la dernière année.
Donc avec la formule de la valeur acquise, je trouve ça:

donc:

donc:

et là, j'ai eu l'idée de mettre au m dénominateur pour l'éliminer:

et on tombe sur = 45t +1, le hic c'est que j'ai "t" des 2 côtés donc comment je fais pour isoler "t" à partir d'ici?
Existe-t-il une méthode ou faut-il obligatoirement passer par les tables de log?
Je suis perdu là :mur:
Merci!

[Nicolas2012]

Le TEX a mal pris les puissances, il s'agit bien dans la première équation de "puissance 30" -1 et dans la seconde "puissance 31" -1, attention.

[Ben314]

donc: (je te fait confiance sur le 30, perso, j'aurais peut-être mis 29, mais ça dépend si le premier versement se fait au début ou à la fin de la 1ère année....)

(erreur de calcul...)

et on tombe sur , c'est à dire

On peut à la rigueur écrire que ça équivaut à mais ça n'avance pas à grand chose (vu q'uil y a des "t des deux cotés" comme tu le dit toi même).

Perso, je ne vois qu'une méthode "numérique" qui donnera une valeur approchée de t.
Par exemple faire tracer par l'ordi la courbe de la fonction ou bien (peut-être mieux) celle de et regarder où la courbe coupe l'axe des x (en faisant des "zoom" si nécéssaire pour avoir plus de précision)
Courbe1
Courbe2

On peut évidement utiliser tout autre méthode numérique, (par exemple la dichotomie ou la méthode des tangentes de Newton ou bien ...) pour touver une approximation de la (ou des) solutions

[Nicolas2012]

>[quote="Ben314"]On peut à la rigueur écrire que ça équivaut à mais >ça n'avance pas à grand chose (vu q'uil y a des "t des deux cotés" comme tu le dit toi même).

OK, merci Ben, de toute manière tu me dis que j'ai fait une erreur de calcul au préalable donc je vais repartir de là, mais m si le calcul était bon, je vois qu'après, y'a pas de solution miracle ou alors avec des méthodes super compliquées genre Newton et autre joyeuseté du genre... dans la correction (avec d'autres chiffres, 562 500 et 24 annuités (fin de période comme tu le demandais) et 12500 = a), il nous dit:

.... = 45, la table relative à la formule ci-dessus donne:

4.5% = 43.565 210
5% = 46,727 099, donc solution entre 4.5 et 5% (avec les données ci-dessus, 24 annuités, 12 500 etc...) je pense qu'il parle de tables de log mais je sais vraiment pas comment me servir de ce truc là, ni même où les trouver :ptdr:

Merci pour ton aide Ben, je vais repartir de mon erreur de calcul, j'ai pas compris ta solution.


Nicolas

[Ben314]

A mon avis, il n'a pas vraiment utilisé de tables de log, il a plutôt chercher (en tatonant) quelle valeur de t donne (à mon avis avec une calculette ou un ordi)
avec t=0.045, ça donne 43.56
avec t=0.05 ça donne 46.72

[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2Bt%29^25-1-t%29%2Ft -45+for+t+from+0+to+0.1]courbe3[/url]
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2Bt%29^25-1-t%29%2Ft-45+for+t+from+0.045+to+0.05]courbe4[/url]

[Nicolas2012]

[quote="Ben314"]A mon avis, il n'a pas vraiment utilisé de tables de log, il a plutôt chercher (en tatonant) quelle valeur de t donne (à mon avis avec une calculette ou un ordi)
avec t=0.045, ça donne 43.56
avec t=0.05 ça donne 46.72

Ouais c'est possible, en effet. Je vais lui en parler. Merci! :we:

[Ben314]

.... = 45, la table relative à la formule ci-dessus donne...

Remarque que, vu ce que tu écrit, il est possible qu'il ait effectivement des "tables" toutes faites concernant les fonctions pour les valeurs "fréquentes" de n (je dirais 5, 10, 15, 20, 25, 30)

Mais perso. (donc c'est pas forcément l'opinion de tout le monde), je trouve qu'à l'époque actuelle, vu le nombre d'outils qu'on a permettant de tracer des courbes, voire directement de calculer des solutions approchées d'équations (ordi, tablettes, calculette graphique, téléphone avec connexion internet, etc..), c'est un peu "désuet" d'utiliser des tables.
Le seul intérêt que ça peut avoir, c'est de pouvoir interdire les ordi./tablettes/calculettes/téléphone lors des exam. pour éviter que les étudiants ne mettent des "feuilles de pompe" dedans ou n'utilise ces outils pour communiquer avec "l'extérieur".

[Nicolas2012]

>Le seul intérêt que ça peut avoir, c'est de pouvoir interdire les ordi./tablettes/calculettes/téléphone >lors des exam. pour éviter que les étudiants ne mettent des "feuilles de pompe" dedans ou n'utilise ces >outils pour communiquer avec "l'extérieur".[/quote]

LOL, c'est sûr que c'est un bon moyen :marteau: , merci à toi, bonne nuit Ben.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

n'est-ce pas plutôt ?

si t est "petit" , on doit pouvoir considérer une approximation à l'ordre 2 de






ce qui donne environ du

[Ben314]

Si effectivement, 600 000/45 000, ça fait plutôt 40 que 45... :hum:

Et on peut effectivement utiliser (entre autre) un D.L. à l'ordre 2 pour approximer t (mais ça restera toujours une approximation)