Martingale

[kaya]

salu à tous.

je suis en cursus en économie alors ne faites pas attention si je suis un peu lent dans les raisonnements
voici un exercice que j'essaie de résoudre
Soit un processus de Wiener standard, et soit
1- Montrer que W est une martingale par rapport à F : pour tout

C'est seulement la première question et j'arrive pas à comprendre ce qu'il faut faire.
Sous mes yeux j'ai cette définition:
une suite de v.a. est une martingale si

avec et sont mésurables

En résumé je ne comprends rien...
Aidez-moi à comprendre ce qu'est une martingale, et j'espère continuer cet exercice ici.
Merci

[Sylviel]

La définition que tu nous donnes est celle d'une martingale à temps discret (n). Ici on veut montrer une martingale en temps continu... Tu n'as pas besoin de chercher la définition, elle est dans ton énoncé : il faut montrer que E(Wt|Fs)=Ws. Quelle est ta définition d'un processus de Wiener ? Quelles propriétées as-tu démontré ?

Quand à comprendre ce qu'est une martingale, ce n'est pas évident. Disons que c'est quelque chose qui, a priori, ne dévie pas de son point de départ. Imagine un marcheur soul sur Z qui a autant de chance de faire un pas en avant qu'un pas en arrière : son déplacement est une martingale car a priori le mieux que tu puisse prédire de sa position dans 5 minutes c'est qu'il sera au même endroit. S'il a plus de chance d'avancer que de reculer ce n'est plus une martingale...

[kaya]

merci pour cette remarque.
J'ai pu faire quelque recherches mais je sais pas si ca a suffit pour comprendre cette notion de martingale.
ce que j'ai pu retenir du processus de Wiener est que pour un processus de Wiener, suit une loi normale N(0,t-s)
Sous de la filtration , on a

or (loi normale)
d'où

S'il y a erreur de raisonnement, veuillez me signaler
la seconde question est de montrer que est une martingale (aucun problème si la démarche précedante n'est pas fausse)
mais la question 3: Montrer que est une martingale, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre: j'ai essayé un changement de variable mais ce n'est pas évident dans le calcul des probabilités :help:

[Sylviel]

La démarche est bonne. Attention toutefois à bien justifier le passage de l'espérance conditionelle à l'espérance tout court (indépendance des acroissements !)

Pour ta question 3 il s'agit du calcul de la transformée de laplace d'une loi normale, je t'avoue ne plus me souvenir de la méthode, mais il me semble qu'il faut écrire l'intégrale (avec la densité de la loi normale) et un petit changement de variable devrait te permettre de t'en sortir... A condition de savoir calculer \int e^{-t^2} (que vaut l'intégrale de la densité d'une gaussienne ?).

Bon courage

[busard_des_roseaux]

Salut,

j'y connais rien ni en probas, ni en martingales, mais ça n'empêche peut être pas d'en discuter.

Il se trouve que les martingales servent peut être à décrire l'évolution des prix de produits financiers.
dans le cas discret, le prix au jour j+1 et son évolution va dépendre du prix au jour j
et va varier , à la hausse où à la baisse ,selon une loi de probabilité.

Donc il faut bien vérifier , qu'à un instant t,la proba d'évolution d'un prix ne dépend que des prix passés et non pas du futur.

donc être attentif à l'évolution des tribus au cours du temps pour savoir sur quels évênements on
va s'appuyer pour obtenir de la mesurabilité.

d'autre part, il est possible qu'en finance, ils aient transformé des évolutions discrètes par du continu , ce qui correspond à un pricing en temps réel.

Dernier point, il s'agit de Browniens, donc de mouvements erratiques et il s'agit de bien comprendre
pourquoi, in fine, on obtient des lois assez régulières comme des Gaussiennes

Bon courage également.