Marche aléatoire

[Charmander]

Bonjour,

On considère une marche aléatoire sur Z, et où les sont des variables aléatoires de Bernouilli prenant la valeur 1 avec une probabilité 0.5 et la valeur -1 sinon.
Le temps d'attente du premier retour à l'origine est noté
On note
Montrer que


Le n-k me perturbe un peu... Pourquoi n-k ? Surtout qu'il me semble que pour certaines valeurs de k les évènements et sont incompatibles.
A priori c'est une formule de probabilité totale mais je ne vois pas quelle probabilité égal à un il faut décomposer. Y aurait-il une erreur dans l'énoncé ?
Merci d'avance.

[zygomatique]

salut

je comprends déjà même pas pourquoi la somme serait finie .....

[Charmander]

Je pense que c'est dû au fait que la probabilité qu'on doit trouver est celle d'un évènement lié à l'état de la n-ième itération avec le n fixé (est-on à l'origine ? Combien de retour à l'origine ? etc)...

[Doraki]

Certes, E_{n-k} n'est pas indépendant avec Sk (et même ils sont souvent incompatible),
mais P(E_{n-k}) c'est juste un nombre, et c'est la probabilité que, en partant de 0, on ne revient pas sur 0 dans les n-k premiers pas.

Maintenant si tu regardes P(Sk=0)P(E_{n-k}) ça pourrait décrire la probabilité de quel événement (en fonction de k et de n) ?

[Charmander]

C'est la probabilité qu'on ne revienne pas avant n-k multipliée par la probabilité qu'on soit à l'origine à l'instant k... Mais ça peut pas être la probabilité de l'intersection de ces deux évènements puisqu'ils sont incompatibles... :triste: :triste:

[Doraki]

C'est quoi la probabilité, en sachant/supposant que Sk=0, de ne pas revenir sur 0 dans S(k+1), S(k+2),..., Sn ?