Marche aléatoire de l'ivrogne

[Romanouch]

Bonjour,

Comment calculer le nombre de chemins possibles pour qu'un ivrogne, partant du bistrot, atteigne son domicile?
Il ne peut aller qu'au Nord et à L'est, avec équiprobabilité de choix.

Comment également calculer le nombre de chemins possibles, afin de calculer la probabilité qu'il arrive à rentrer chez lui? S'il sort du quadrillage, il se perd bien sûr.



J'ai trouvé comment calculer les chemins possibles pour un carré en utilisant le nombre de Catalan, mais pour un rectangle, à part les compter un à un, je ne trouve pas.

[beagle]

Un chemin est:
NEEN...NEN
quoiqu'il arrive il te faudra les 6 N, et les 8 E
Donc pourquoi pas C(6,14)?

[beagle]

Après ça sort à 9E ou 7N
Pour les 9E, le dernier fait sortir et est donc E,
donc faut associer du 8E avec 0n
8E avec 1N
8Eavec 2N
8E avec 3N
8E avec 4N
8E avec 5N
8E avec 6N

avec 8E et 5N c'est C(5,13) and so on ...

Il y a peut-ètre plus rapide don't know
c'est peut-ètre faux, don't know
je bosse en fait et je balance ça un peu à l'aveugle, sans rétro-controle.
Qui a dit comme d'hab?

[beagle]

maintenant le soucis de regarder précisément où cela sort c'est l'équiproba des évènements,
je ne me rends pas bien compte, Ptète qu'il sufit de regarder les bons cas à 14 déplacements sur l'ensemble des cas à 14 déplacements,...
je suis à la bourre pas le temps...

[DamX]

Bonjour,

Soit j'ai loupé un truc soit c'est juste (6 parmi 14) le nombre de chemins possibles, et la proba (6 parmi 14)/14!

Je suis d'accord avec la première réponse de Beagle donc.

Damien

[Ben314]

Pour le nombre de parcours, je suis d'accord avec le coef. binomial (si le rectangle fait ), mais j'ai de gros doute concernant la division par pour avoir la proba d'arriver à bon port.
Si on regarde l'ensemble des parcours de longueur , y compris ceux qui sortent du rectangle, il y en a et ils sont équiprobable. Comme il y en a qui mênent à bon port, c'est que la proba d'arriver est .
Par exemple, si , je trouve une proba de 3/8 d'arriver à bon port

[Frede]

Tout-à-fait d'accord avec Beagle.

Pour la première question, le nombre de chemins qui mènent au domicile est bien égal à C(6,14) (ou à C(8,14) c'est pareil).

Pour la deuxième question, il faut effectivement
- calculer le nombre de chemins contenant 8 fois E, le nombre de N allant de 0 à 6
- calculer le nombre de chemins contenant 7 fois N, le nombre de E allant de 0 à 8.
- et faire la somme des deux résultats obtenus.

Donc, il faut commencer par calculer la somme:
C(0,8) + C(1,9) + C(2,10) + C(3,11) + C(4,12) + C(5,13) + C(6,14)
et ensuite faire pareil pour le second résultat.

Je ne pense pas qu'il existe une formule permettant de simplifier les calculs.

[Ben314]

En fait, le point de vue le plus clair, c'est de regarder ce qu'il se passe sans limiter la taille du rectangle.
Si on part de (0,0) et qu'on regarde les différent points d'arrivé possible aprés un nombre fixé de pas, ce sont tout les points de coordonnées tels que et la probabilité d'arriver à un point donné de cette forme est assez clairement

[beagle]

Suis d'accord avec Ben314,
mon second message a un grand intérèt celui de dire pourquoi on ne va pas s'en servir :ptdr:

si on regarde l'ensemble des chemins , c'est deux choix possibles 14 fois,
peu importe que l'on soit sorti au 11 ième coup ou au 13 ième...

[Ben314]

Une truc rigolo : si on calcule de deux manière différentes la proba. de ne pas arriver à bon port parce qu'on est sorti à droite du rectangle, on obtient aprés multiplication par une puissance de 2 la jolie formule :

qui donne un lien entre la somme des termes de la fin d'une ligne du triangle de pascal et les termes du début d'une colonne.
Je ne sais pas s'il y a une façon élémentaire (i.e. combinatoire) de voir ce résultat.

Et ça se généralise à ça :

[Romanouch]

Une truc rigolo : si on calcule de deux manière différentes la proba. de ne pas arriver à bon port parce qu'on est sorti à droite du rectangle, on obtient aprés multiplication par une puissance de 2 la jolie formule :

qui donne un lien entre la somme des termes de la fin d'une ligne du triangle de pascal et les termes du début d'une colonne.
Je ne sais pas s'il y a une façon élémentaire (i.e. combinatoire) de voir ce résultat.

Et ça se généralise à ça :

Alors l'ivrogne a 18% de chance d'arriver chez lui... C'est tout de même pas mal.

Merci à tous.