Manipulation de somme
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 11:55
Bonjour,
en m'entrainant sur un exo, j'éprouve une difficulté sur une manipulation de somme:
Ln est un endormorphisme nilpotent d'indice n+1 et u,v des réels:
\varphi_v(t)=\sum_{p=0}^n{u^p\over p!}(L_n(t))^p\sum_{q=0}^n{v^q\over q!}(L_n(t))^q\cr)
j'ai rassemblé les termes mais j'ai des problèmes avec l'indexation et je m'embrouille pas mal
le but étant de trouver
\varphi_v(t)=\varphi_{u+v}(t)\cr)
Pourriez vous me conseiller?
Bonne journée
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emdro
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par emdro » 04 Nov 2008, 12:36
Bonjour, et bienvenue!
tu peux écrire la somme double sur p et q, faire un changement d'indice en transformant p+q en s: tu auras une somme double sur p et s.
Comme s est l'exposant de L, s variera de 0 à n ( et non à 2n).
Et tu reconnaîtras facilement l'expression cherchée grâce au binôme de Newton. :happy2:
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 13:34
Merci pour ta réponse,
j'ai appliqué ton conseil et j'ai ça sachant que Ln est nilpotent:
^{k}\right)\cr)
Mais pour les bornes de la deuxième somme, je n'ai pas compris ce qu'il faut mettre. :hein:
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emdro
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par emdro » 04 Nov 2008, 13:40
A priori p+q varie de 0 au minimum (si p=q=0) à 2n (si p=q=n).
Fais un petit tableau à double entrée pour le voir.
Mais comme L est nilpotent, tu peux faire varier k de 0 à n.
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 13:48
Oui d'accord. Mais je ne comprends pas pourquoi il y a 2 sommes sur k. C'est peut etre bête comme question mais j'ai un blocage dessus :marteau:
Je vois comment faire intervenir le binôme de Newton mais cette deuxieme somme est bizarre...
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emdro
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par emdro » 04 Nov 2008, 14:00
Ah pardon, je n'avais pas remarqué ton erreur: la première somme n'est pas sur k, mais sur p!
^{p+q}\right) \cr=\sum_{p=0}^{n}\left( \sum_{k=p}^{p+n}{u^pv^{k-p}\over p!(k-p)!}L_n(t)^{k}\right)\cr<br />=\sum_{p=0}^{n}\left( \sum_{k=p}^{n}{u^pv^{k-p}\over p!(k-p)!}L_n(t)^{k}\right)\cr<br />=\sum_{k=0}^{n}\left( \sum_{p=0}^{k}{u^pv^{k-p}\over p!(k-p)!}L_n(t)^{k}\right)\cr)
OK?
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 14:23
D'accord merci beaucoup :++:
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 14:49
excuse moi,en relisant, je n'ai pas compris comment passes-tu de l'avant dernière ligne à la dernière ligne?
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emdro
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par emdro » 04 Nov 2008, 15:18
Je vais te donner un bon truc que j'utilise presonnellement: j'ajoute le symbole
qui vaut 1 si la condition (ici: k>=p) est réalisée et 0 sinon.
Du coup, je peux écrire:
!}L_n(t)^{k}\right)\cr<br />=\sum_{p=0}^{n}\left( \sum_{k=0}^{n}{u^pv^{k-p}\over p!(k-p)!}L_n(t)^{k}\delta_{k>=p}\right)\cr)
Du coup, j'ai pu faire varier k de 0 à n. C'est maintenant facile d'inverser les sommes!
!}L_n(t)^{k}\delta_{k>=p}\right)\cr)
et finalement en remarquant que le
est nul si p , n'est pas inférieur ou égal à k (en lisant la condition à l'envers), j'obtiens:
!}L_n(t)^{k}\right)\cr)
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Triniko
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par Triniko » 04 Nov 2008, 17:11
D'accord, c'est bon j'ai compris. Merci beaucoup emdro.
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