Manipulation matricielle

[ksta94]

Bonjour à tous,

J'ai un petit prog à faire où je dois manipuler des matrices .
Malheureusement je n'en ai jamais fais avant. Je me tourne vers vous car mon probleme est purement theorique et je sais que si je comprend comme ça fonctionne je pourrais faire un algo donc voila.
Je dois pouvoir manipulation une matrice identité 2D avec des translation par un vecteur x,y , une homothétie de rapport i suivant Oi et j suivant Oj, une rotation par un angle i et une symetrie par rapport a un axe inclinée d'angle n.

Nous partons d'une matrice identité en 2D
J'ai cherché sur le net pour ces transformation (je n'avais jamais vu les matrices auparavant)

Pour une translation :

Si on part d'une matrice identité alors la translation sera :

[1 0 Tx]
[0 1 Ty]
[0 0 1 ] donc si je veux faire une translation de vecteur 2,3 j'aurais :

[1 0 2]
[0 1 3]
[0 0 1] confirmation?

Pour une homothetie :

J'avoue avoir vraiment pas compris cette partie

Pour une rotation d'angle i :

J'ai crus comprendre qu'il fallait utilisé cette formule :

[cos(i) -sin(i) 0]
[sin(i) cos(i) 0]
[ 0 0 1]

Pour une symetrie par un axe inclinée d'angle n :

Je sais que : x = cos(n)²-sin(n)²
y = 2*cos(n)*sin(n)

Mais je ne sais pas où les places dans ma matrice sauf pour le x :

[x 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1] mais sinon le y je ne sais pas, pareil... est ce juste un 'remplacement' ou une addition/multiplication ... ?

Je possède des exemples pour chaque transformation avec evidemment que les reponses mais pas l'explication du pourquoi du comment ... à chaque fois j'arrive plus ou moins à trouver mais bon cela reste néanmoins flou (exemple pour la symetrie ou n = 270).

[-1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1] en calculaant je trouve x = -1 et y = 0. donc ok pour x mais pour y ?

Déjà de base j'ai du mal mais là où ça se complique c'est lorsque qu'il faut faire l'un après l'autre par exemple une Rotation puis une Symetrie est ce qu'il faut faire Matrice_RESULTAT = R . S où je ferrais le produit comme cela :



je vous donne l'exemple que j'ai pour ce cas où rotation d'angle 37 et symetrie d'angle 69:

[-0,191 0,982 0]
[ 0,929 0,191 0]
[ 0 0 1] je n'arrive pas à trouver ce resultat

Bref j'ai retourné le sujet dans tout les sens, cherché sur wiki, plein de site qui parle de matrice et je tourne en rond, je n'ai pas de prof de maths pour m'aider donc vous comprenez bien que c'est un peu difficile.
A la fin je dois etre capable de faire faire à ma matrice une translation, homothetie, une rotation et une symetrie. M_Resulat = T.H.R.S ???

Merci d'avoir pris le temp de lire et j'espère que quelqu'un sera apte à me répondre sur ce forum.

Amicalement
ksta

[Ben314]

Bonjour,
La façon dont tu utilise les matrices n'est pas la façon "usuelle" de les utiliser en mathématique (si tu veux des mots techniques, tu fait sans le savoir de la "géométrie projective"). Cele explique sans doute que tu ne voie pas trop le rapport entre ce que tu fait et ce que tu va trouver sur vikipédia à "matrices".
Tu peut essayer "espace projectifs" mais cela risque fortement d'être d'un niveau un peu élévé.

La facon "usuelle" en math de "donner un sens" à la matrice 3x3

[Ben314]

Bonjour,
La façon dont tu utilise les matrices n'est pas la façon "usuelle" de les utiliser en mathématique (si tu veux des mots techniques, tu fait sans le savoir de la "géométrie projective"). Cele explique sans doute que tu ne voie pas trop le rapport entre ce que tu fait et ce que tu va trouver sur vikipédia à "matrices".
Tu peut essayer "espace projectifs" mais cela risque fortement d'être d'un niveau un peu élévé.

La facon "usuelle" en math de "donner un sens" à la matrice 3x3 c'est de dire qu'elle correspond à la fonction : qui est une fonction de dans , c'est à dire qui associe à un point (ou un vecteur) en dimension 3 un autre point (ou vecteur). Un telle application est appellée une application linéaire.

Normalement, pour manipuler des applications du plan (dimension 2) dans lui même, on utilise des matrices 2x2. Le problème c'est que les translations ne sont pas des applications linéaires (et les homothéties et rotations ne sont linéaires QUE si leur centre est le centre du repère)

Pour pouvoir manipuler les translations et homothéties/rotations de centre quelconque à l'aide de matrices, on a recours à une "astuce" (qui s'appelle la géométrie projective) :
partant d'un point du plan, on commence par lui "associer" le point de l'espace, puis on "applique" une matrice 3x3 (dont la troisième ligne doit être 0 0 1) : on trouve un résultat (le 1 du bas vient de l'hypothèse faite sur la 3em ligne) et on lui "associe" le point du plan.

Tout cela risque de te sembler un peu "théorique" mais risque de te permettre de faire le "pont" entre ce que tu lit sur wiki. et ce que tu fait.

De façon pragmatique : tu ne devrais manipuler que des matrices de la forme et, pour toi, une telle matrice est là pour "modéliser" l'application .

Par exemple, la translation de vecteur correspond à l'application
donc la matrice qui lui correspond est (i.e. je CONFIRME)

Si tu cherche la matrice associée à une homothétie (de centre (xo,yo) et de rapport k)
essaye de trouver la formule qui donne les coordonnées de l'image d'un point (x,y) en fonction de x et y....

Je te laisse méditer ce (long) message.

P.S. Pour le produit de deux matrices, c'est un peu plus compliqué que le produit terme à terme. Pour trouver le résultat, tu peux :
1) chercher sous wiki la définition du produit de deux matrices
2) (mieux) regarder ce qui ce passe quand on compose deux fonctions du type dont je parle au dessus (avec a,b,c,d,e,f)...

P.S.2 : si tu veut faire "péter la science" concernant ce que tu fait tu peut dire que "tu regarde le groupe affine comme un sous groupe du groupe des homographies de l'espace projectif associé....." ca en jette non !!!!

[ksta94]

Merci bcp, j'ai trouvé mon bonheur dans ton poste. j'ai par ailleurs trouvé comment "fusionné" mes résultats. Merci au revoir

[asy]

Bonsoir .

Moi je n'ai pas bien saisi cette histoire de Rotation d'angle 37 et symetrie par rapport a un axe incline' 69 ,comment parvient t'on au resultat ?

Amicalement Asy.