Majorer binome de newton par polynome

[Anonyme]

Bonjour,

Voici le problème que je me pose :

Existe-t-il une fonction f(n) telle que :

C(n,f(n)) < n^k pour un k fixé et pour n assez grand.

Avec C(n,m) le binôme de Newton, C(n,m) = n!/(n-m)!m!.

L'idée que j'ai eu est conventionnelle :

J'utilise la fonction de Stirling pour approcher et rendre dérivable le
binôme de Newton (Je le majore)... J'élimine de cette approximation
tous les facteurs majorable par un polynome (sous la racine) car
ils compléxifient le calcul et sont inutiles puisque déjà majorés par un
polynome.

Le problème devient :

Existe-t-il une fonction f(n) telle que :

C(x,f(x)) < B(x,f(x)) < x^k

avec B(x,f(x)) = e^[x(1 + ln(x))] * (x - f(x))^(f(x) - x) * f(x)^-f(x)

Et j'etudie la dérivée de ln(B(x,f(x))) et k.ln(x) pour les comparer...

On pose g(x) = ln(B(x,f(x)))

Donc, g(x) = x(1 + ln(x)) - (x - f(x)).ln(x - f(x)) - f(x).ln(f(x))

Je trouve g'(x) = 3 + ln(x) + ln(x-f(x)) + f'(x).(ln(f(x)) - ln(x-f(x))

Et là c'est le drame...
Je n'arrive pas à résoudre l'inégalité différentielle suivante car
trop incompétant sur les eq. diff. :

Trouver f(x) telle que g'(x) < k/x .

Si j'élimine le terme avec f'(x) j'obtient :
~g'(x) = ln(x) + ln(x - f(x)) < k/x
Ce qui me donne : f(x) > x-[e^(1/x)]/x
mais ne me permet pas de conclure sur le pb de départ ....

Quelqu'un peut-il m'aider ? Cela me permettrait de valider
mathématiquement l'intérêt à apporter à un algorithme en théorie
des graphes sur lequel je travaille en ce moment...

En tous cas, à tous ceux qui prennent la peine de lire,
un grand merci ! C'est déjà un bel effort de lire ce post !

Nicola Levoilier

[Anonyme]

J'ai oublié de dire que je cherche f(x) NON CONSTANTE !

Car si f(x) est constante, le binome est sous le polynome.
Si f(x) = x/2, le binome est au dessus de l'exponentielle !
Moi je cherche à déterminer le moment au cours duquel le binome passe du stade "majoré par un polynome" au stade "minoré par l'exponentielle"...

Avez vous des pistes ?

Nicola